1. Критерій Дарбіна – Уотсона.

Для оцінки автокореляції залишків найчастіше використовується критерій Дарбіна-Уотсона

, (8.11)

де - залишки (відхилення).

d – статистика може набувати будь-якого значення з інтервалу (0;4).

При відсутності автокореляції d – статистика набуває значень близьких до 2. Для d – статистики визначені крайні межі (d₁ – нижня, d_n – верхня), які дозволяють із заданою надійністю дати відповідь, чи можна прийняти гіпотезу про відсутність автокореляції першого порядку чи ні.

У залежності від значення d приймаємо, що:

1. при відхилення додатньо корельовані;

2. при враховується гіпотеза про відсутність явища автокореляції;

3. при відхилення від’ємно корельовані;

4. при і критерій не дає відповідь про відсутність явища автокореляції.

Якщо d – статистика набуває значення з п. 4, то для одержання відповіді про наявність автокореляції першого порядку необхідно збільшити кількість спостережень. Величина d_n і d_l для певних ймовірностей наводяться в статистичних таблицях.

Між статистикою Дарбіна-Уотсона і коефіцієнтом автокореляції

(8.12)

існує приблизна залежність

.

При відсутності автокореляції , а d-статистика набуває значень, близьких до 2, при додатній автокореляції , , а при від’ємній автокореляції , .

2. Критерій фон Неймана.

Для виявлення автокореляції залишків можна використовувати критерій фон Неймана.

(8.13)

Між критерієм Дарбіна–Уотсона і критерієм фон Неймана існує співвідношення.

(8.14)

При достатньо великих n→ ∞ ці критерії є однакові, тобто Q = d.

Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним для вибраного рівня ймовірності і заданій кількості спостережень. Якщо Q < Q_табл., то існує додатна автокореляція.

3. Циклічний коефіцієнт автокореляції

Цей коефіцієнт виражає ступінь взаємозв’язку рядів u_1,u_2,u_3.….u_n та u_2,u_3,u_4…..u_n,u_1.

Циклічний коефіцієнт кореляції визначають за формулою:

(8.15)

Коефіцієнт r може набувати значень -1 r 1.

Від’ємні значення свідчать про від’ємну автокореляцію. Додатні – про додатну автокореляцію. Значення які містяться в області біля нуля свідчать про відсутність автокореляції.

В загальному випадку в обчисленні значення циклічного коефіцієнта автокореляції порівнюється з табличними для заданого рівня ймовірності і кількості спостережень.

Якщо |r| ≥ r_табл.,то існує автокореляція.

8.5. Оцінка параметрів регресійної моделі при наявності автокореляції.

Припустимо, що в економетричній моделі

(8.16)

де

причому , - залишки, які розподілено нормально.

Щоб усунути автокореляцію залишків треба перетворити модель (8.16) таким чином, щоб вона мала залишки .

Для оцінювання параметрів економетричної моделі, що має автокореляцію залишків можна використовувати узагальнений МНК, або метод Ейткена, який будується на скорегованій вхідній інформації з врахуванням коваріації залишків.

У п. 8.3 було розглянуто метод Ейткена і показано, що оцінку параметрів моделі можна визначити за формулою:

(8.17)

де А- вектор оцінок параметрів,

Х - матриця значень факторів,

Y – вектор значень показника,

S – матриця для корегування вхідної інформації.

Отже, щоб оцінити параметри моделі на снові метода Ейткена, необхідно сформувати матрицю S. Вона буде мати вигляд:

(8.18)

У цій матриці виражає коефіцієнт автокореляції і-го порядку для залишків u. Коефіцієнт автокореляції 0-го порядку дорівнює 1.

Оскільки при часто наближаються до 0, то (8.18) можна записати у вигляді:

(8.19)

а матриця, обернена до матриці S, буде мати вигляд:

(8.20)

Таку матрицю пропонується використовувати при оцінюванні параметрів економетричної моделі з автокорельованими залишками. Зауважимо, що параметр має зміщення, тому використовуючи цей параметр для формування матриці S необхідно скорегувати його на величину зміщення:

(8.21)

де - величина зміщення.

При реалізації алгоритму Ейткена при оцінці параметрів моделі використовують такі 5 кроків:

1. Оцінка параметрів моделі за допомогою МНК.

2. Дослідження відхилень на наявність автокореляції.

3. Формування матриці S.

4. Обертання матриці S.

5. Оцінка параметрів за допомогою методу Ейткена, тобто за формулою (8.17).