10

8. Узагальнені економетричні моделі

1. Поняття гомо- і гетероскедастичності

Якщо дисперсія залишків стала для кожного спостереження, тобто , то ця властивість називається гомоскедастичністю.

На практиці часто умова гомоскедастичності порушується. Тестування на наявність чи відсутність гомоскедастичності звичайно не проводять, але можна висунути певні гіпотези. Коли розглядати економетричну модель, що характеризує залежність між дивідендами і розміром прибутку або між витратами на харчування і доходом на одного члена сім’ї, витратами на харчування і загальними витратами, то можна припустити, що дисперсія залишків для окремих груп спостережень змінюватиметься.

Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто , то це явище називається гетероскедастичністю.

Якщо існує гетероскедастичність залишків, то це спричинюється до того, що оцінки параметрів моделі МНК будуть незміщенними, обґрунтованими, але неефективними.

8.2. Методи визначення гетероскедастичності

Можливість перевірки припущень про наявність гетероскедастичності залежить від природи вихідних даних.

1. Перевірка гетероскедастичності на основі критерію μ

Цей метод застосовується тоді, коли вихідна сукупність спостережень досить велика. Алгоритм складається з кількох кроків:

1) вихідні дані залежної змінної у розбиваються на k груп відповідно до зміни рівня величини у.

2) за кожною групою даних обчислюється сума квадратних відхилень

(8.1)

3) визначається сума квадратів відхилень загалом по всій сукупності спостережень:

(8.2)

4) обчислюється параметр α

(8.3)

де n – загальна кількість спостережень, n_r – кількість спостережень r-ї групи.

5) обчислюється критерій

(8.4)

який наближено відповідатиме розподілу χ² при ступені вільності k-1, коли дисперсія всіх спостережень однорідна. Тобто, якщо значення при заданому рівні ймовірності і ступені вільності k-1, то спостерігається гетероскедастичність.

2. Параметричний тест Гольдфельда-Квандта

Коли сукупність спостережень невелика, то розглянутий вище метод незастосовний. В такому разі пропонується розглядати випадок, коли , тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі

Для виявлення наявності гетероскедастичності складено параметричний тест, в якому необхідно виконати певні кроки:

1. Впорядкувати спостереження відповідно до величини елементів вектора x_j (по зростанню).

2. Відкинути с спостережень, які містяться в центрі вектора. Згідно з експериментальними розрахунками вчені знайшли оптимальні співвідношення між параметрами с і n, де n – кількість елементів вектора x_j.

(8.5)

3. Побудувати дві економетричні моделі на основі методу найменших квадратів за двома утвореними сукупностями спостережень обсягом за умови, що обсяг n₁ перевищує кількість змінних m.

4. Знайти суму квадратів залишків за першою і другою моделями

(8.6)

де u₁ – залишки за першою моделлю, u₂ – залишки за другою моделлю.

5. Обчислити критерій

(8.7)

який в разі виконання гіпотези про гетероскедастичність відповідатиме F-розподілу з (n-c-2m)/2, (n-c-2m)/2 ступенями вільності. Це означає, що обчислене значення R* порівнюється з табличним значенням F-критерію для ступенів вільності та та заданого рівня ймовірності.

Якщо , то гетероскедастичність відсутня.