52.Интегрирование рациональных дробей

Pn(x)/Qm(x),где Pm(x),Qn(x)-многочлены m-й и n-й степени соответственно,назыв.рац.дробью.Рациональная добь называется правильной,если m<n,и неправильной,если m≥n.

Любая прав. рац.дробь может быть представлена единствен.способом в виде суммы элемент.дробей. Pn(x)/Qm(x)=A₁/(x-a)+A₂(x-a)²+…

+M₁x+N₁/x²+px+q)^e

M_ex+N_e/x²+px+q)^e - разложение прав.дроби на элементы сводится к нахождению коэф-та.

Метод нахождения коэф.разложения

1)привести правую часть к общему знаменателю

2)раскрыть скобки

3)сформировать в числит. могочлен,расположен.по степени х.

4)учитывая равенство дробей,независимо от значения х мы приравн.коэф-ты при одинаковых степенях.

5)вычисляем коэф-ты.решаем интеграл

53.Определенный интеграл и его геом.Смысл

О

b

a

пределение. Если при любых делениях отрезка [а;b] таких, что DXi®0 и при любом выборе точек xi на этих отрезках, интегральная сумма ® к одному и тому же пределу, то этот предел назыв. опред. интегралом от ф-и y= f(x) на отрезке [a;b] и обозначают ∫ f(x) dx y

Т

∆x_i→0

.о. ∫ f(x)dx = lim ∑ f(ξi) - ∆x Геометрически опред. интеграл – площадь кривол. Трапеции, огран. Сверху ф-ей f(x), прфмыми х=а, х=b и осью ОХ.

Замечание.

Опред. интеграл в отличие от неопред. есть число, зависящее от вида подыинтегр.ф-и, пределов интегр-я, не зависящее от обозн. переменной интегрир-я

54.Свойства определенного интеграла

55.Оценки опред.Интегралов

1.│∫ f(x)dx│ ≤ ∫│f(x)│dx

2.Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

3.F(x)≥0 [a;b] _a ƒ^bf(x)dx≥0

56.Теорема о среднем

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда .

Доказательство

1. По свойству функции, непрерывной на отрезке, , такие что .

2. По свойству определенного интеграла , следовательно , . Обозначим дробь как m * .

3. Так как непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения, а , то , такая что .

57 Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.

58. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b], то

∫ f(x)dx = F(b) - F(a),

Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Док-во.

F(x) – некот. первообразная для f(x)

Ф(х) = ∫ f(t)dt также первообразная.

x

a

Ф'(x) = f(x),

П

x

a

оложим х=а, тогда С₁ = F(a)

Cлед-но ∫ f(x)dx = F(x) - F(a)

Положим x=b, тогда ∫ f(t)dt = F(b) - F(a)

Что и требовалось доказать