4.1.5. Операции над нечеткими множествами

Как и с обычными множествами, с нечеткими множествами можно производить стандартные операции: объединение, пересечение, декартово произведение и т. д. Отличие заключается лишь в том, что реализации этих операций в разных задачах могут отличаться. Здесь мы рассмотрим наиболее распространенные интерпретации действий с нечеткими множествами.

Логические операции

Включение. Пусть A и B — нечеткие множества на универсаль­ном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если

(4.1)

Обозначение:

Например, если A — множество чисел, очень близких к 10, а B — мно­жество чисел, близких к 10, то Формально это можно проверить, используя функции принадлежности. Если A и B — обычные множества, а и — характеристические функции, то из неравенства (4.1) следует, что если некоторый элемент x принадлежит множеству A, т. е. , то он принадлежит и множеству B, поскольку .

Иногда используют термин доминирование, т. е. в случае, когда говорят, что B доминирует A.

Множества A и B равны, если . Обозначение: A = B.

Объединение. Объединением нечетких множеств A и B называ­ется нечеткое множество, обозначаемое функция принадлежности которого определяется следующим образом:

Иначе говоря, объединением называется наименьшее нечеткое под­множество, включающее как A, так и B.

Рис. 5.5. Операции с нечеткими множествами: а) подмножество и дополнение нечет­кого множества; б) разность нечетких множеств; в) объединение нечетких множеств; г) пересечение нечетких множеств

Пересечение. Пересечением называется наибольшее не­четкое подмножество, содержащееся одновременно в множествах A и B:

(4.2)

Дополнение. Дополнение нечеткого множества A имеет функ­цию принадлежности Обозначение: или

Это определение можно сформулировать иначе. Пусть A и B — нечеткие множества, заданные на E. Множество A и B дополняют друг друга, если

Очевидно, что A = A.

Разность. Разностью называют множество с функ­цией принадлежности

На рис. 5.5 проиллюстрированы данные выше определения. Опера­ции над нечеткими множествами можно проиллюстрировать и так, как показано на рис. 5.6.

Введенные операции над нечеткими множествами основаны на ис­пользовании операций max и min. В теории нечетких множеств разра­батываются вопросы построения обобщенных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысло­вые оттенки соответствующих им связок И, ИЛИ, НЕ.

Рис. 5.6. Графическая интерпретация логических операций: а) нечеткое множество А; б) нечеткое множество А; в) А л А; г) А у А

Для операций пересечения и объединения выполняются следующие свойства (A, B, C - нечеткие множества; - Ø – пустое множество, т.е. E - универсальное множество):

1) (коммутативность);

2)

(ассоциативность);

3) (идемпотентность);

4)

(дистрибутивность)

5)

6)

7)

8)

9) (теоремы де Моргана).

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае имеем:

,

Алгебраические операции

Алгебраическое произведение нечетких множеств A и B обозначается к определяется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

Для операций •, выполняются следующие свойства:

1) (коммутативность);

2)

(ассоциативность);

3)

4) (теоремы де Моргана).

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств следующие свойства, вообще говоря, не выполняются:

1) (идемпотентность);

2)

(дистрибутивность);

3)

При совместном использовании операций выполняются следующие свойства:

1)

2)

3)

4)

Умножение на число. Если α — положительное число такое, что

, то нечеткое множество имеет функцию принад­лежности

Дизъюнктивная сумма:

с функцией принадлежности

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть нечеткие множества универсального множества E, а неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Тогда выпуклой комбинацией называется нечеткое множество A с функцией принадлежности

Декартово (прямое) произведение нечетких мно­жеств. Пусть —нечеткие подмножества универсальных множеств соответственно. Декартовым или прямым произве­дением называется нечеткое подмножество множества с функцией принадлежности

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечетко­сти нечеткого множества.

Пусть A — нечеткое множество, E — универсальное множество, и для всех элементов определены нечеткие множества . Совокупность всех множеств называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида

где — произведение числа на нечеткое множество.

Пример

4.7. Пусть

Тогда