5 Двойные интегралы

5.1 Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области плоскости задана непрерывная функция .Разобьём область на n «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) через .

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точки на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется функции в области .

Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция называется интегрируемой в области ; - область интегрирования; и - переменные интегрирования; или - элемент площади.

5.2 Основные свойства двойного интеграла

1.

2.

3. Если область разбить линией на две области и , то

4.Если в области имеет место неравенство , то и . Если в области функции то и .

5. Если подынтегральная функция , то двойной интеграл численно равен площади области интегрирования:

.

6. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то

, где и - соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что

Величину называют средним значением функции в области .

8. Координаты центра тяжести однородной пластинки можно вычислить по формулам

,

Пример 16. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями .

Рис.1

Решение. Так как фигура симметрична относительно оси , то . Остается найти . Найдем площадь фигуры:

Тогда

.

Пример 17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, изображенную на рис. 1. Для изменения порядка интегрирования разобьем область на две части: и . Тогда исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов:

6 Элементы теории вероятностей

Наблюдение явления (эксперимент) называется испытанием. Результат испытания называется событием.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию , обозначают через .

Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным.

Событие называют невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Событие называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно из них.

Событие называется благоприятствующим событию , если наступление события влечет за собой наступление события .

Классическое определение вероятности. Вероятностью события называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу исходов, т.е.

.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна единице: .

2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:

.

Суммой событий и называется событие , состоящее в том, что произошло или событие , или событие , или оба одновременно.

Произведением событий и называют событие , состоящее в том, что произошло и событие , и событие .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Два события и называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называют зависимыми.

Условной вероятностью события называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Заметим, что если события и независимы, то

Теорема умножения вероятностей.

1. Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое уже наступило:

.

2. Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

.

Формула полной вероятности. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий , , …, (их называют гипотезами), образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

.

Формула Бейеса. Если произведено одно испытание, в результате которого произошло событие , то можно переоценить вероятности гипотез:

( ),

где вероятность вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример 18. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны

соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок; б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.

Решение.

а) Рассмотрим следующие события:

- первый стрелок попал в цель;

- второй стрелок попал в цель;

- третий стрелок попал в цель;

- первый стрелок не попал в цель;

-второй стрелок не попал в цель;

- третий стрелок не попал в цель.

По условию

Пусть событие - попал только один стрелок. Тогда

Отсюда в силу несовместности событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей

б) Пусть событие - попадут только два стрела. Тогда

Отсюда

в) Пусть событие -попал хотя бы один стрелок. Тогда противоположное событие -не попал ни один из них, т.е. Поэтому

Отсюда

Пример 19. Среди 15 калькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные - бывшие в употреблении. Наугад взято три калькулятора. Какова вероятность того, что все они окажутся новыми?

Решение.

Рассмотрим события:

-первый из взятых калькуляторов новый;

-второй калькулятор новый;

-третий калькулятор новый.

Тогда

Вероятность того, что второй калькулятор будет новый, при условии, что первым уже был отобран новый калькулятор, т.е. .

Вероятность того, что третьим будет отобран новый калькулятор, при условии, что уже отобраны два новых калькулятора, т.е. условная вероятность события ,равна.

Искомая вероятность того, что все три отобранных калькулятора окажутся новыми, равна