10. Закон Ома в комплексной форме для параллельного соединения элементов.(рис.28)

Ток цепи также является синусоидальной функцией вида: i=Imsint

Методика та же, что и при последовательном соединении элементов:

1. поставим в соответствие синусоидальным функциям комплексные функции элементовr, L, c: U=UmsintUm e(jt )= Um e(jt ) (в данном случае комплексная амплитуда равна амплитуде)i=Imsin(t-)Im e(j(t-))= Im e(jt ) (Im=Im e(-j))

2. По 1-му закону Кирхгофа имеем: i=ir+iL=ic Выразим токи через напряжения: i=ir+iL=ic=u/r+1/Ludt+c(du/dt) (1) Подставим в уравнение (1) вместоi: u/r

Im=[1/r-j(1/(L)-c)]Um=Yum (2) гдеY – комплексная проводимость

Для комплексных действующих значений получим: I=YU Y= 1/r-j(1/(L)-c)=g-j(bL-bc)= g- jb

11. Законы Кирхгофа в комплексной форме.

По 1-му закону Кирхгофа имеем:ik=0 (3) В выражении (3) ik=(Im)ksin(tk) (4)

Поставим в соответствие синусоидальной функции (4) комплексную функцию: ik=(Im)ksin(tk)(Im)k e(jt) ((Im )k=(Im)k e(jk)) (5)

Подставим функцию (5) в исходное уравнение (3): (Im)k e(jt)=0 отсюда(Im)k=0 (6)

Уравнение (6) выражает 1-ый закон Кирхгофа в комплексной форме. Для комплексных действующих значений токов: (I)k=0

2-ой закон Кирхгофа в комплексной форме: Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из n ветвей, тогда по 2-му закону Кирхгофа имеем: ek=(ur)k+(uL)k+(uc)k

Выразим напряжение через соответствующие токи: ek=…=rkik+Lk(dik/dt)+1/ckikdt (7)

Поставим в соответствие синусоидальным функциям изображающие комплексные функции:

Ik=(Im)ksin(t+k)(Im)k e(jt) ((Im)k=(Im)k e(jk))

ek=(Em)ksin(t+k)(Em)k e(jt) ((Em)k=(Em)k e(jk))

Подставим в уравнение (7) изображающие комплексные функции Ik и Ek:

(Em)k e(jt)=rk(Im)k e(jt) + jLk(Im)k e(jt) +1/(jck)(Im)k e(jt)

После преобразований и группировки получим (:e(jt)) и группировки получим:

(Em)k=[rk+j(Lk-1/ck)](Im)k т.о. приходим к следующему выражению:

(Em)k=Zk(Im)k Для комплексных действующих значений получим: Ek=ZkIk

12. Мощность в цепи переменного тока.

Рассмотрим произвольный участок цепи, напряжение на зажимах которого равно: U=Umsint

А ток равен: i=Imsin(t-) Мгновенная мощность равна: P=ui=UmImsintsin(t-)=UmIm/2[coscos(2t-)]=UIcos-UIcos(2t-) Первое слагаемое – это постоянная составляющая, второе слагаемое – гармоническая функция времени.

P=1/TPdt=UIcos Чем ближе к 1, тем больше при заданных значениях действительная активная мощность передается источником приемника. Для последовательного соединения мощность может быть преобразована: U=ZI r=Zcos (изсопротивлений) P=UIcosZI2cos=rI2 Для параллельных соединений: I=yU g=ycos Из приведенного выражения следует, что мощность всегда положительна. Величина Q=UIsinназывается реактивной мощностью и измеряется в ВАРах (вольт-ампер) Q= UIsin=ZI2sin=xI2(при последовательном соединении) при параллельном соединении: I=yU b=ysin Q=yU2sin=bU2 Qможет быть как положительна, так и отрицательна. Полная мощностьS=UI Найдем связь между P, S, Q: P2+Q2=U2I2cos2+U2I2sin2=U2I2=S2  S=P2+Q2

Комплексная мощность

Комплексная мощность (S) равна произведению комплексных действительных значений напряжения и комплексно сопряженных значений тока. Комплексно сопряженное значение тока отличается от комплексно действительного значения тока только знаком начальной фазы: S=UI U=U e(ju) I=I e(ji ) S=UI=UI e(j(u-i))=S e(j)

Представим комплексную мощность в тригонометрической и алгебраической форме. (рис.29)

S=UIcos+jUIsin=P+jQ