Синусоидальный ток в емкости.

Пусть к емкости приложено напряжение U=Umsintток через емкость равен i=c(dU/dt)=cUmcost=Imsin(t+/2) (3) (ток через емкость опережает напряжение на емкости на/2)

максимум тока на графике сдвинут относительно максимума напряжения на угол /2. Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны соотношением, аналогичным закону Ома: Um=1/(c) Im = xcIm xc=1/(c) –емкостное сопротивлениеbc=1/xc=c – емкостная проводимостьIm=bcUm Изобразим векторную диаграмму тока через емкость и напряжения на емкости. (один из векторов произвольно – исходный вектор) =u - i= 0 - /2= - /2 (в нашем примереu=0) (рис.13)

Мгновенная мощность, поступающая в емкость: Pc=ui=(Um/2)Imsin2t=Uisin2t

(средняя за период мощность равна нулю). Энергия электрического поля емкости равна: c=cU2/2=cUm2/2sin2(t)=cUm2/4(1 – cos2t)=cU2/2(1 – cos2t) энергия изменяется с угловой частотой 2от 0 доcU2, поступая от источника энергия запасается в электрическом поле емкости, затем возвращается источнику при исчезновении поля.

5. Последовательное соединение элементов r, l, c. (рис.14)

Пусть в цепи протекает синусоидальный ток: i=Imsint Напряжение Uтакже синусоидально: U=Umsin(t+) ВеличиныUmиподлежат определению. По 2-му закону Кирхгофа имеем: сумма напряжений в контуре равна нулю. U=ur + uL + uc (рис.15) Выразим ur, uL , ucчерез ток: . U=ur + uL + uc =ri + L(di/dt) +1/cidt Подставим в это уравнение U=Umsin(t+) и i=Imsint: Umsin(t+) = r Imsint +LImcost –1/(c) Imcost Перепишем это уравнение в виде: Umsin(t+)= r Imsint + (LIm –1/(c))Imcost Преобразуем правую часть с помощью известного тригонометрического равенства: nsin+mcosn2+m2 *sin(+) =arctg(m/n)

(4) Umsin(t+)=r2+(L-1/(c))2 *Imsin(t +arctg((L-1/c)/r))

Из тождества(4) следует:

1. амплитуды (и действующие значения) тока и напряжения связаны соотношением, аналогичным по формуле закону Ома: Um=r2 +x2 *Im x=xL=xc =L –1/(c)

r –активное сопротивление цепиx –реактивное сопротивление цепи

Величина Z=r2 +x2 =r2 + (L –1/(c))2 называется полным сопротивлением цепи.

Um=ZIm

2. Между напряжением и током существует сдвиг по фазе =arctg(x/r)=arctg((L –1/(c))/r)

 если (напряжение опережает ток) L >1/(c)- это индуктивный характер цепи, при

этом ток отстает по фазе от напряжения. если L <1/(c)- это емкостной характер цепи, при этом ток опережает по фазе напряжение.

Изобразим векторную диаграмму тока и всех напряжений. (рис.16)

На данной диаграмме ток отстает от напряжения, следовательно характер цепи индуктивный.

Если последовательно соединены несколько r, L, c, то при расчете цепи необходимо предварительно найти эквивалентные значения r,L, c, при этом следует иметь в виду,что: rэквив=r1+…rn Lэквив=L1+….+Ln 1/cэквив=1/c1+…1/cn

Пример: рассчитать последовательное соединениеr, L, c, при этом: u=10sin(100t+/4) B

R=1 Om L=0,02 Гнc=0,01 Ф Отдельно находим амплитуду и фазу. Амплитуда тока равна амплитуде напряжения делить на Z: Im=Um/Z=Um/r2 + (L –1/(c))2=10/1+(100*0,02 – 1/(100*0,01)2 = 10/2 Фазовый сдвиг тока относительно напряжения равен: =arctg(x/r)=arctg((L-1/c)/r))=arctg((2-1)/1)=/4 Так как L>1/(c), то характер цепи индуктивный, следовательно ток отстает от напряжения.

Итак: i=10/2sin((100t+/4)-/4)=10/2sin(100t) (A)

Определим напряжение на индуктивности: (uL)m=xLIm=Lim=2*10/2=102 (B)

Напряжение на индуктивности опережает ток в индуктивности на угол /2.

uL=102sin(100t +/2)