Вопрос 6. Оценка точности функций измеренных величин

По результатам геодезических измерений находят дирекционные углы, координаты отметки и другие функции измеренных величин. Квадрат средней квадратической погрешности функции F непосредственно измеренных величин x₁ , x₂ , ... x_n можно вычислить по формуле

, (3.8)

где F/x_i – частные производные функции, – частные погрешности.

Последовательность действий при вычислении средней квадратической погрешности функции:

– устанавливают вид функции F ,

– находят частные производные,

– находят значения частных погрешностей,

– подставляют найденные значения в формулу (3.8) .

Сложные функции сначала логарифмируют, а затем дифференцируют.

Предельную погрешность функции находят по формуле

_пред = tm_F . (3.9)

Пример. Вычислить среднюю квадратическую и предельную погреш-ности суммы углов замкнутого n-угольника, углы в котором измерены равноточно со средней квадратической погрешностью 30". Принять t = 2.

Решение:

– вид функции F = ₁ + ₂ +...+ _n =  ,

– все частные производные равны 1,

– частные погрешности m_1 = m_2 =...= m_n = m_ = 30" ,

– средняя квадратическая погрешность функции

;

– предельная погрешность функции _пред= tm_ . (3.10)

Вопрос 7. Понятие об уравнивании результатов геодезических измерений

Уравниванием называется специальная совместная математическая обработка измерений, при которой выполняют контроль и оценку их качества, на­ходят наиболее вероятные значения измеренных величин (углов, линий) и их функций (дирекционных углов линий, координат точек).

Чтобы получить возможность уравнивания, геодезические измерения организуют по специальным замкнутым схемам, в которых выполняются избыточные измерения. В таких схемах возникают геометрические условия, которые могут быть записаны в виде условных уравнений. Число условных уравнений равно числу избыточных измерений.

Рис. 3.2

На рис. 3.2 показан замкнутый теодолитный ход, в котором измерены все углы (правые) и все стороны, заданы координаты x₁ , y₁ первой точки и дирекционный угол  первой стороны. Требуется оценить качество измерений, найти наиболее вероятные значения измеренных углов и сторон, вычисленных дирекционных углов и координат вершин хода.

Очевидное решение:

1) по формулам прямой геодезической задачи найти

x₂ = x₁ + d_1-2cos_1-2 ; y₂ = y₁ + d_1-2sin_1-2 ;

2. по формуле передачи дирекционного угла найти

_2-3 = _1-2  180^о – ₂ ;

2. по формулам прямой геодезической задачи найти

x₃ = x₂ + d_2-3cos_2-3 ; y₃ = y₂ + d_2-3sin_2-3

– не является уравниванием, т.к. не выполнена оценка точности измерений и найденные значения координат точек не являются наиболее вероятными. При таком решении использованы только необходимые углы и линии. Углы на точках 1 и 3 и линия 3-1 оказались лишними – избыточными. При уравнивании используют все измерения, в том числе и избыточные.

В схеме на рис. 3.2 при любом количестве вершин выполняется три избыточных измерения: углы на первой и последней точках и последняя сторона (отмечены на рис 3.2 штрихами), что приводит к появлению трех геометрических условий:

_теор – 180^о(n - 2) = 0 ,

x_теор = 0 ,

y_теор = 0 .

Индексы в уравнениях означают теоретические (безошибочные) значения углов и приращений координат.

Если в эти уравнения подставить результаты измерений, то в их правых частях появятся отличия от нуля – невязки f :

 _измер – 180^о(n – 2) = f_ ,

x_измер = f_x ,

y_измер = f_y .

Контроль и оценку качества измерений выполняют сравнением полученных невязок с их допустимыми значениями:

f  доп. f .

Допустимые значения невязок определяют по формуле (3.9)

доп. f = _пред = tm_F .

Например, допустимой угловой невязкой замкнутого теодолитного хода по формуле (3.10) будет

доп. f_ = 1' .

Если полученные невязки не превосходят допуск, то измерения считаются качественными и невязки устраняют, т.е. находят систему поправок  , удовлетворяющих двум условиям:

 = - f и  ² = min .

Выполнение второго условия – нахождение поправок к измеренным величинам под условием минимума суммы их квадратов – называется обработкой измерений методом наименьших квадратов. Этот метод применяется для обработки результатов всех геодезических измерений и означает, что сумма квадратов поправок, найденных этим методом, всегда меньше аналогичной суммы, найденной любым другим методом.

Полученными из уравнивания поправками исправляют измеренные углы и линии. Вычисленные по уравненным углам и линиям дирекционные углы и координаты точек будут иметь наиболее вероятные значения.

Результат уравнивания – каталог координат и высот точек.

Возникающие в сети уравнения можно решать совместно (строго) или раздельно (упрощенно). Современные ЭВМ позволяют все измерения уравнивать строго методом наименьших квадратов. Это предусмотрено во всех программных комплексах (например, Кредо). При обработке малоточных измерений, выполняемых на ограниченных площадях, допускается упрощенное уравнивание. Методику упрощенного уравнивания небольших геодезических сетей студенты изучают при выполнении расчетных работ.

Уравнивание– сложный и ответственный этап геодезических работ. Результат уравнивания – каталог – продукт долговременного использования. Во всех странах периодически проводится переуравнивание, т.е. совместная обработка всех прежних и вновь выполненных геодезических измерений, что приводит к изменению координат и высот пунктов в каталогах. Это означает введение в стране новой системы координат. Например, переуравнивание всех накопившихся данных по нивелированию привело к появлению новых каталогов отметок постоянно закрепленных на местности точек, т.е. к введению новой системы высот – Балтийской системы 1977 года. Взамен просуществовавшей полвека системы координат 1942 года (СК-42) в результате совместной обработки всех геодезических и спутниковых измерений, выполненных в государственной геодезической сети, появилась новая система координат 1995 года – СК-95. Последнее уравнивание государственной сети завершило этап истории развития геодезии в России, на котором использовались традиционные методы геодезических измерений.