Вопрос 5. Оценка точности прямых равноточных измерений
Непосредственное сравнение измеряемой величины с единицей меры называется прямым измерением. Так измеряют линию рулеткой, угол теодолитом. Равноточными называют измерения, выполненные одинаково надежно, т.е. одинаковыми по точности приборами, одинаковыми по квалификации исполнителями, при одинаковых внешних условиях. Степень доверия к результату измерения называется весом. Таким образом, равноточные измерения – это измерения с одинаковым весом, неравноточные – измерения с неравными весами. Обработка неравноточных измерений в данном пособии не рассматривается.
Для оценки точности измерений пользуются двумя показателями: средней квадратической и предельной прогрешностями.
Мерой точности измерений служит дисперсия D(x) , т.е. рассеивание результатов. Это квадратичная величина:
при n
.
Корень квадратный из дисперсии называется стандартом (сигма), или стандартным отклонением:
.
Стандартное отклонение – это норматив, задаваемый в инструкциях. В практической деятельности число измерений n всегда ограничено. Поэтому для оценки точности отдельного измерения из ряда, содержащего n прямых равноточных измерений, пользуются приближением стандарта – средней квадратической погрешностью m .
В метрологии среднюю квадратическую погрешность называют средним квадратическим отклонением (СКО) и вычисляют по формуле Гаусса
, (3.2)
где определяют по формуле (3.1).
Если истинное значение X измеряемой величины l неизвестно, то вместо него используют среднее арифметическое как наиболее вероятное значение измеряемой величины, а СКО вычисляют по формуле Бесселя
, (3.3)
где v –
отклонение результата измерения l
от среднего арифметического
: 
, (3.4)
. (3.5)
Среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического находят по формуле
. (3.6)
На всех инженерных калькуляторах есть
клавиши с надписями
x , n,
для вычисления среднего арифметического
по формуле (3.5), клавиша
x2 для
нахождения числителя в формулах (3.2) и
(3.3), клавиши
n и
n-1 для
вычисления СКО по формулам (3.2),
(3.3).
Вторым показателем точности измерений служит предельная погреш-ность пред . Предельную погрешность находят по формуле
пред = tm . (3.7)
68% всех случайных погрешностей не превышают значение средней квадратической погрешности m , 95,5% не превышают 2m , а 99,7% укладываются в 3m (рис. 3.1). Поэтому в геодезических измерениях нормированный коэффициент t принимают равным 2 или 2,5 или 3 в зависимости от вида и назначения работ. В Строительных нормах и правилах (СНиП), Инструкциях и Наставлениях величина пред называется допуском. Погрешности, превышающие допуск, считают грубыми и измерения с такими погрешностями бракуют.
Зная допуск, можно по формуле m = пред / t предвычислить СКО, подобрать нужные приборы и методику измерений, которые дадут возмож-ность обеспечить заданную точность.
Значение СКО указывается в обозначении марки (шифре) прибора. Например, шифр Т30 означает теодолит, с помощью которого можно измерить угол со средней квадратической погрешностью, не превышающей 30"; шифр Н-5 означает нивелир, с помощью которого можно измерить превышение со средней квадратической погрешностью, не превышающей 5 мм на один километр двойного хода.