7.1.2. Правила Лопіталя

Розглянемо спосіб розкриття невизначеностей вигляду і, який заснований на застосуванні похідних.

Теорема 7.1.4. (правило Лопіталя розкриття невизначеностей вигляду ). Нехай функція і неперервна і диференційована в околі і обертаються в нуль в цій точці: . Нехай в околі точки . Якщо існує границя , то .

□ Застосуємо до функцій і теорему Коші для відрізка , що лежить в околі точки х_о . Тоді , де с лежить між х_о і х (Рис.144). Враховуючи, що , одержуємо

При, величина з також прагне до ; перейдемо в рівності (25.4) до границі:

.

Рис. 144.

Оскільки , то . Тому .

Коротко отриману формулу читають так: межа відношення двох нескінченно малих рівна границі відношення їх похідних, якщо останній існує.■

Зауваження: 1. Теорема 7.1.4 вірна і у разі, коли функції і не визначені при, але і . Достатньо, поклавши, отримаємо

.

3. Якщо похідні і , теорему 7.1.4 можна застосувати ще раз:

і т.д.

Приклад 7.1.2. Знайти .

○ .●

Приклад 7.1.3. Знайти .

○ .●

Теорема 7.1.4 дає можливість розкривати невизначеність вигляду . Сформулюємо без доказу теорему про розкриття невизначеність вигляду .

Теорема 7.1.5 (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей вигляду ). Нехай функції і неперервні і диференційовані в точці х_о (окрім, може, бути, точки х_о ), і в цьому околі , . Якщо існує границя то .

Приклад 7.1.4. Знайти .

○

2-й спосіб:

●

Розкриття невизначеностей різних видів

Правило Лопіталя застосовується для розкриття невизначеностей вигляду , які називають основними. Невизначеності вигляду, зводяться до двох основних видів шляхом тотожних перетворень.

1. Нехай при . Тоді очевидні наступні перетворення:

(або ).

Наприклад:

2. Нехай при . Тоді можна поступити так:

На практиці простіше, наприклад

3. Нехай або і або , і або , і при Для знаходження границі вигляду зручно спочатку прологарифмувати вираз

Приклад 7.1.5 Знайти

○ Маємо невизначеність вигляду . Логарифмуємо вираз, отримаємо: Потім знаходимо межу:

, тобто Звідси, і .

Розв’язання можна оформити коротше, якщо скористатися «готовою формулою»

(використана основна логарифмічна тотожність: ).●

Приклад 7.1.4. Знайти .

○

●

Приклад 7.1.7 Нехай

Знайти (Додатково: знайти )

○ При маємо

.

При за визначенням похідної:

Робимо заміну і застосовуємо правило Лопіталя

Таким чином

Аналогічно можна показати, що ●

7.1.3. Зростання і спдання функцій

Одним з застосувань похідної є її застосування до дослідження функцій і побудови графіка функції.

Встановимо необхідні і достатні умови зростання і убування функції.

Т еорема 7.1.6 (необхідна умова). Якщо функція що єтьсдиференціюя на інтервалі зростає (спадає), то для

□ Нехай функція зростає на інтервалі . Візьмемо довільні точки х і на інтервалі і розглянемо

Рис. 145.

відношення Функція зростає, тому якщо то і якщо то і . В обох випадках, оскільки чисельник і знаменник дробу мають однакові знаки. По умові теореми функція має похідну в точці х і є межею даного відношення. Отже .

Аналогічно розглядається випадок, коли функція убуває на інтервалі .

Геометрично теорема 7.1.6 означає, що дотичні до графіка зростаючої функції, що диференціюється, утворюють гострі кути з позитивним напрямом осі Ох або в деяких точках (на Рис. 145 в точці з абсцисою ) паралелі осі Ох ■

Теорема 7.1.7 (достатня умова). Якщо функція диференційовна на інтервалі і для То ця функція зростає (спадає) на інтервалі .

□Нехай . Візьмемо точки і з інтервалу , причому . Застосуємо до відрізка теорему Лагранжа: , де . По умові . Тоді чи тобто функція на інтервалі зростає.

Розглянуті теореми 7.1.6 і 7.1.7 дозволяють досить просто досліджувати функцію на монотонність. Нагадаємо, що функція зростаюча або убуваюча називається монотонною. (м. з. 102).■

Приклад 7.1.8. Дослідити функцію на зростання і убування.

○ Функція визначена на . Її похідна рівна: при при .●