7. Применение турнирного метода для принятия оптимального управленческого решения.

Парное сравнение— это сравнение двух объектов экспертизы, когда эксперт выбирает из них лучший. В таблице 12.1 приведены результаты попарных сравнений шести объектов одним экспертом. Результат сравнения i-го и j-го объектов кодируется символом 1, если i-й объект лучше j-го, и символом 0 — в противном случае.

Таблица 12.1

ранжирование шести объектов путем попарного сравнения

Номер объекта 1 2 3 4 5 6 Итог

1 × 1 0 1 1 1 4 2 0 × 0 1 1 1 4 3 1 1 × 1 1 1 5 4 0 0 0 × 0 0 0 5 0 0 0 1 × 0 1 6 0 0 0 1 1 × 2

Бинарные данные — данные, которые могут принимать два значения.

На основе парных сравнений можно решить многие задачи анализа экспертных данных. Например, можно упорядочить объекты по рассматриваемому признаку. Для этого достаточно, например, подсчитать, сколько раз определенный объект доминирует над другими, т.е. рассмотреть число единиц в строке. Эти величины приведены в последнем столбце табл. 12.1. Затем упорядочиваем объекты по указанным значениям. Получаем кластеризованную ранжировку 4 < 5 < 6 < {1, 2} < 3, отражающую мнение эксперта. Итак, самым хорошим является объект 3, а самым плохим — объект 4.

В соответствии с «турнирным» методом ранжирования сравнение двух вариантов состоит в статистической проверке нулевой гипотезы о равенстве соответствующих математических ожиданий. Если нулевая гипотеза принимается, то каждому варианту присваивается по 0,5 очка.

Если нулевая гипотеза отклоняется, то варианту с большим выборочным средним арифметическим присваивается 1 очко, а с меньшим — 0 очков. Проводятся все k(k – 1)/2 парных сравнений, полученные очки суммируются, варианты упорядочиваются в порядке возрастания набранных сумм. Получаем эмпирическую кластеризованную ранжировку.

Эмпирическая кластеризованная ранжировка используется как оценка теоретической. Каковы математико-статистические свойства этой оценки? Поскольку кластеризованная ранжировка— это объект нечисловой природы, то для изучения свойств процедуры, предложенной в статье [126], необходимо применить подходы и результаты статистики

объектов нечисловой природы [77; 89].

Теорема 12.1. При безграничном росте объемов выборок (т.е. при min{ni, i = 1, 2, …, k} → ∞) и фиксированном числе k вариантов вероятность того, что эмпирическая кластеризованная ранжировка совпадает с теоретической, стремится к 1.

В соответствии с теоремой 12.1 предложенная в работе [126] оценка теоретической кластеризованной ранжировки является состоятельной.

8. Применение мажоритарного метода для принятия оптимального управленческого решения

(стратегия простого большинства)

Мажоритарный метод иначе называют методом простого большинства.

Метод простого большинства – процедура, при которой групповое предпочтение совпадает с предпочтением не менее чем (n/2 + 1) членов группы. Зная индивидуальные отношения предпочтения между всеми парами a_i и a_k во множестве А, можно довольно легко определить групповое предпочтение альтернатив: на первом месте находится альтернатива, которая предпочитается всем остальным в этом множестве, на втором – наиболее предпочтительная альтернатива из оставшихся и т. д. В нашем примере коллективные предпочтения таковы: борщ, бульон, солянка, поскольку два индивидуума из трех предпочитают борщ бульону, три из трех борщ солянке, и два из трех бульон солянке.

Даже при рассмотрении этого тривиального примера возникает серьезный методологический вопрос: надо ли рассматривать в качестве субъекта, принимающего решения, коллектив с его предпочтениями, целями и т. д. или же следует рассматривать индивидуального участника коллективного выбора в качестве единственного субъекта, принимающего решения? Например, Дж. Ролз в своей классической книге “Теория справедливости” пишет, что “точно так же, как каждая личность должна решить путем рациональных размышлений, что составляет благо, т. е. систему целей, рациональную для их преследования, так и группа людей должна решить раз и навсегда, что считать справедливым и несправедливым”. Сразу оговоримся, что при формализованном анализе правила простого большинства, который будет предпринят далее, мы будем исходить из второй концепции, или постулата индивидуализма. В соответствии с этим постулатом групповые решения являются результатом действия определенных правил выбора, с которыми согласны члены группы и по которым решения отдельных индивидуумов формируются в общее коллективное решение.

Высокие издержки принятия решений в условиях единогласия, когда каждый индивидуум обладает правом вето, не позволяют широко использовать этот принцип. Чаще всего, и это считается признаком демократии, используется правило простого большинства. Однако данный принцип имеет целый ряд недостатков. Правило простого большинства может привести к нетранзитивности коллективных предпочтений, а транзитивность предпочтений является одним из постулатов рационального поведения. Поясним это на нашем примере, немного изменив предпочтения членов группы:

 Иванов предпочитает борщ бульону, бульон солянке, борщ солянке;

 Петров предпочитает бульон солянке, солянку борщу, бульон борщу;

 Сидоров предпочитает солянку борщу, борщ бульону, солянку бульону.

Отсюда следует, что группа предпочитает борщ бульону и бульон солянке, и по транзитивности предпочтений для группы борщ должен быть предпочтительнее солянки. Но из правила простого большинства следует противоположное предпочтение!

В 50-е годы К. Эрроу в своей книге “Общественный выбор и индивидуальные ценности” доказал теорему о невозможности (ее еще называют парадоксом Эрроу), утверждающую, что не существует правила принятия группового решения, удовлетворяющего ряду условий. Задача выбора группового решения в формулировке Эрроу такова: даны порядки предпочтений (включая равные оценки) m альтернатив для n индивидуумов, составляющих общество (в нашей терминологии – группу или коллектив), и нужно определить “справедливые” способы объединения этого множества индивидуальных порядков в один порядок предпочтений для общества. Такое правило преобразования набора и порядков (по одному порядку для каждого индивидуума) в порядок общественных предпочтений называется функцией группового (общественного) решения. Эрроу показал, что пять как будто бы приемлемых условий, или требований, для функции группового решения несовместимы, т. е. не существует функции группового решения, удовлетворяющей всем пяти требованиям. Эти пять условий таковы:

1) универсальность (функция должна решать все возможные профили предпочтений);

2) положительная связь индивидуальных предпочтений;

3) независимость несвязанных альтернатив;

4) суверенитет граждан (отсутствие навязанных решений);

5) недопустимость диктатуры.

Как отмечается в литературе по теории игр, самым сильным условием теоремы Эрроу и, следовательно, самым слабым звеном в его концепции является третье условие, или аксиома о независимости несвязанных альтернатив, – условие, которому удовлетворяет правило простого большинства. Можно было бы ожидать, что правило простого большинства будет удовлетворять всем условиям Эрроу, но это не так, поскольку коллективные решения могут приводить к нетранзитивным предпочтениям. Для того чтобы исключить нетранзитивность предпочтений, требуется вводить определенные ограничения, которые существенно меняют процедуру принятия коллективного решения.

Нобелевский лауреат в области экономики Дж. Бьюкенен в своей книге “Расчет согласия. Логические основания конституционной демократии”, написанной совместно с Г. Таллоком, много внимания уделяет рассмотрению правила простого большинства в принятии коллективных решений. Позволим себе процитировать достаточно большой отрывок, поскольку он содержит результаты проведенного в книге анализа: “....Вывод состоит в том, что ни на какой стадии исследования нам не показалось необходимым или целесообразным ввести одно особое правило принятия решений, которое традиционно ассоциируется с демократией. Мы не обнаружили повода особым образом выделить правило принятия решения большинством голосов, или, в более четкой формулировке, правило принятия решений N/2+1 голосов. Как было показано, правило единогласия действительно приобретает особые свойства, поскольку только через принятие этого правила индивиды могут застраховать себя от возможного внешнего ущерба, который может быть вызван частными или коллективными действиями других индивидов. Но как только мы отходим от правила единогласия, то различия между одним правилом и другим оказываются несущественными. Рациональный выбор будет зависеть в любом случае от собственных оценок индивидом ожидаемых издержек. Более того, в анализе нет ничего, что априори указывало бы на некую уникальность правила, требующего, чтобы решения принимались простым большинством. Кажется, что точка (N/2+1) a priori не представляет ничего большего, кроме как одно из многих возможных правил, и было бы слишком неправдоподобно, чтобы это правило должно было бы быть “в идеальном случае” выбрано для принятия решений по более чем очень ограниченному кругу вопросов. По зрелому размышлению, 51 процент голосов не может показаться более предпочтительным, чем 49 процентов”. (Попутно заметим, что книга “Расчет согласия…” была названа Нобелевским комитетом в числе работ Бьюкенена, которые стали основанием для присуждения ему премии. Она имеет самый высокий индекс цитируемости среди всех работ этого исследователя.)

Как следует из приведенных рассуждений, правило простого большинства имеет существенные недостатки даже с формальной точки зрения, не говоря уже о том, что оно просто игнорирует мнение меньшинства. Каким же образом должны поступать рациональные индивиды: отказаться от коллективных решений вообще или же договариваться об определенном плюрализме в принятии решений?

В 60-е годы А. Бухэнэн сформулировал концепцию, согласно которой решения принимаются людьми исходя из их согласия, которое, по существу, является разновидностью общественного договора. Каждый человек как бы получает индивидуальное право вето, препятствующее принятию тех решений, которые возлагали бы на него слишком большую нагрузку, т. е. тем самым может быть обеспечено правило единогласия, или консенсуса. А. Бухэнэн считает, что каждый человек должен быть заинтересован в принятии коллективного решения, поскольку сам зависит от способности коллектива принимать решения. Этот интерес к принятию решения преодолевает индивидуальное право вето, сохраняя при этом определенное равновесие между правом голоса и правом принятия решения.