Теория линейного программирования

Л.Канторович (1912-1986) – Нобелевская премия 1975 года. «Математические методы организации планирования производства»( 1939 г.), «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959):

• Предложил математический метод поиска оптимального варианта распределения ресурсов.

• Решая конкретную задачу достижения наибольшей производительности при загрузке оборудования предприятия, производящего фанеру, Канторович разработал метод, получивший название метода линейного программирования. Этим был открыт новый раздел в математике, ускорено развитие и использование вычислительной техники и расширены возможности решения ряда практических задач

• Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод последовательных приближений – последовательного составления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи. ( Линейное программирование – это и есть программное распределение ограниченных ресурсов наилучшим способом в соответствии с поставленными целями)

• Как найти этот наилучший способ – т.е. как получить оптимальный результат и убедиться, что он оптимален? – Построить математическую модель в виде формул, графика, таблицы, затем подставить в модель конкретные числовые значения и произвести вычисления. Многие взаимосвязи и процессы однотипны, следовательно, можно строить типовые модели (например, транспортные задачи, распределительные задачи). При решении такой типовой задачи требуется найти такие значения нескольких вариантов, которые отвечают определенным ограничениям (условиям) и соответствующей цели, а затем найти одно экстремальное решение.

• Метод линейного программирования позволяет найти оптимальное решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений, неизвестные в них только первой степени, ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Так , в задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать, в виде стоимостей продукции, производимой всеми станками. Ограничения были описаны уравнениями, устанавливающими соотношение между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством выпускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные разрешающими множителями (или мультипликаторами). Если значения разрешающих множителей известны, то оптимальный объем выпуска найти относительно просто. Канторович показал, что экономический смысл разрешающих множителей - состоит в том, что это объективно значимые цены каждого фактора производства в условиях полностью конкурентного рынка. (позже Канторович заменил понятие «разрешающие множители» на «объективно обусловленные оценки», которые являются заданными условиями задачи, но которые могут корректироваться в зависимости от соотношения спроса и предложения)

• Заслугой Канторовича является также – выявление двойственных (или взаимосвязанных) оценок в задачах линейного программирования. Каждая задача линейного программирования может решать только одну задачу – например, либо минимизировать затраты, либо максимизировать результаты. Но эти задачи сопряжены (или двойственны – по Канторовичу)

Эти идеи послужили основой дальнейшего развития экономико-математических исследований в СССР в 50-60 гг. (В. Новожилов, В. Немчинов) – и создания системы моделей СОФЭ (системы оптимального функционирования экономики).

18