Модель ііi.

Перевіряються нульові гіпотези:

,

(44)

Критерій для перевірки нульових гіпотез:

(45)

.

Прийняття рішення здійснюється так, як і в моделях 1 і 2.

Існують ще різновиди перехресної класифікації. А саме:

• перехресна класифікація (ПК) з одним повторенням в комірці.

• ПК з нерівною кількістю спостережень в комірках.

Ієрархічна класифікація результатів спостережень застосовується в дисперсійному аналізі в тих випадках, коли один фактор згрупований всередині іншого „головного” фактора.

основне рівняння прийнятої моделі дисперсійного аналізу мають вигляд:

(46)

де -математичне сподівання всіх результатів спостережень;

-ефект і-ої градації фактора А;

-ефект j-го рівня фактора В в межах і-ої градації фактора А;

-ефект неконтрольованих факторів.

Дисперсію у запишемо у вигляді суми:

(47)

Перевіряємо гіпотези:

(48)

Визначаємо суми квадратів відхилень:

(49)

(50)

(51)

де (52)

(53) (54)

Величина відображає вплив фктора А, -вплив фактору В, -характеризує зміну всередині комірок. Середні квадрати знаходяться за формулами:

(55)

(56)

Статистики при виконанні відповідних нульових гіпотез, мають F-розподіл з степенями вільності

(57)

Коваріаційний аналіз.

Коваріація між двома вибірками випадкових величин обчислюється за формулою:

(1)

де компоненти векторів х та у, п- чисельність вибірки.

Коваріація вибірки самої з собою називається дисперсією. Коваріація може бути як додатньою, так і від’ємною.

В більш широкому змісті коваріацією називають сукупність трьох статичних показників: середніх арифметичних та , сум квадратів відхилень і і суми добутків відхилень . Паралельний розклад цих величин за факторами змін і складає суть коваріаційного аналізу.

Коваріаційний аналіз включає три основних етапи:

1. дисперсійний аналіз X, Y та добутків XY;

2. розклад залишкової дисперсії C_z за рядом у (залишок 1) на суму квадратів відхилень, обумовлену регресією Y по X, що позначається C_b ісуму квадратів відхилень від регресії (залишок 2);

(2)

3. приведення фактичних середніх за рядом Y до повного вирівнювання умов експерименту за рядом Х.

коваріаційний аналіз (КА) – це статистичний метод оцінки впливу на випадкову величину різних одночасно діючих факторів, одні з яких задані якісно, а інші можуть бути виміряні кількісно. Тобто, КА можна розглядати, як комбінацію дисперсійного та регресійного аналізів.

Суму квадратів відхилень, зумовлену регресією Y на X визначають за формулою:

(3)

Суму квадратів випадкового змінювання, тобто суму квадратів відхилень від регресії, знаходить як різницю .

Коеіцієнт регресії (4)

Результативну ознаку вирівнюють за співвідношенням

(5)

Y₁ – коректоваі дані; b_yx – коефіцієнт регресії;

Y – фактичні дані; - різниця між середнім значенням незалежної змінної х та її фактичним значенням.

(2.) Основна модель КА, що узагальнює дисперсійний та регресійний підходи, має вигляд:

(6)

де Y, X, β мають той же зміст, що і моделі ДА;

а z^’γ – визначає вклад факторів, що піддаються кількісному дослідженню, при цьому z – значення факторів (регресорів), γ – коефіцієнти регресії Y на z.

Далі будемо допускати, що коефіцієнти регресії не залежать від градацій якісного фактору, що задають розбиття вхідних даних на р груп:

.

Основні припущення КА:

1. Y має нормальний розподіл з параметрами

2. Y має нормальний розподіл з параметрами

Як і в дисперсійному і регресійному аналізах, розподіл  також допускається нормальним з параметрами .

Припущення (1) відповідає нульовій гіпотезі , а припущення (2) – гіпотезі . Якщо виконується, то перевірка зводиться до загального дисперсійного аналізу.

Якщо ж відхиляється, то перед перевіркою треба внести деякі корективи, що виключають ефект регресії.

Основна модель КА зручно розглядати на прикладі одно факторного аналізу з однією незалежною змінною (регресором):

(7)

де - ефект і- ї градації фактора А;

- ефект, обумовлений дією змінної z;

- коефіцієнт регресії;

- ефект неконтрольованих факторів; .

Перевірка гіпотези :  = 0 здійснюється за наступною схемою:

І. Визначаємо суми квадратів і добутків відхилень, що відображають змінювання Y і z,

а) Всередині груп (градацій)

;

(8)

де ; (9)

б) Між групами:

; (10)

(11)

де ;

(12)

ІІ. Якщо гіпотеза вірна, то статистика що обчислюється за формулою:

(13)

має F-розподіл з f₁=1, f₂=N-p-1 степенями вільності. Гіпотеза про рівність нулю коефіцієнта регресії  відхиляється, якщо обчислене значення критерія перевищить табличне .