9) Cтепенные средние q-го порядка.

Степенной средней q-го порядка Xq называют такую среднюю, при замене которой каждого наблюдения остаётся неизменной сумма q-ых степеней наблюдений:

 x_i^q =  (x_q)^q, (*)

где x_i – i-тый вариант усредняемого признака;

n – количество наблюдений;

q – положительное или отрицательное целое число.

Из формулы (*) получаем выражение для расчёта степенной средней q –го порядка:

X_q = (x_i^q / n)^1/q.

При q=1 имеем простую среднюю арифметическую: х_ариф = x_i / n/

При q=-1 имеем среднюю гармоническую: х_гарм = n / 1/x_i/

При q=2 имеет место средняя квадратиче-ская, при q=3, средняя кубическая и т. д.

Средняя геометрической х_геом называют корень n-ой степени из произведения значений наблюдений х₁,х₂,…

Х_геом =( х_i)^1/n/ Можно сказать, что х_геом = lim x_q.

10) Структурные (позиционные) сред-ние.

Помимо степенных средних, в статисти-ческой практике используют позицион-ные средние, среди которых наиболее распространены мода и медиана.

Медианой М_е называют значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений. Если проведено нечётное число наблюдений

n = 2*l – 1, и результаты наблюдений проранжированы и выписаны в следующий ряд:

х_(1), х₍₂₎, …_х(l-1), х_(l), х_(l+1),…х_(n-1), х_(n), где х_(i) – значение признака, занявшее i – ое порядковое место в ранжированном ряду.

То на середину ряда приходится значение x_(i), следовательно М_е = х_(l). Если проведено чётное число наблюдений n=2*l, то на середину ранжированного ряда х_(1), х₍₂₎, …_х(l-1), х_(l), х_(l+1),…х_(n-1), х_(n), приходятся значения х_(l) и х_(l+1). В этом случае за медиану принимают среднюю арифметическую значений х_(l) и х_(l+1):

М_е = х_(l) + х_(l+1) / 2.

Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле:

М_е = а_е + h* (n/2 – m_e^нак) / m_e, где

m_e^нак – частота, накопленная к началу медианного интервала.

m_e^нак – частота медианного интервала

h – его величина

Медианным называется интервал, у которого первый раз накопленная частота станет равной или более половины всех наблюдений.

Модой называют такое значение признака, которое наблюдалось наиболь-шее число раз. Для дискретного вариа-ционного ряда модой является вариант, которому соответствует наибольшая час-тота. В случае интервального вариационного ряда, мода вычисляется по формуле:

М₀ = а_о + h*(m_o-m_o’) / (2m_o – m_o’ – m_o”), где а₀ – начало модального интервала, то есть такого, которому соответствует наибольшая частота.

m_o (w_o) – частота (частость) модального интервала;

m_o’ (w_o’) – частота (частость) интервала, предшествующего модального;

m_o”(w_o”) – частота (частость) интервала, следующего за модальным.

11. Показатели вариации

Изучение вариации (изменение значений признака в пределах совокуп­ности) имеет большое значение в статистике и социально-экономических ис­следованиях вообще. Абсолютные и относительные показатели вариации, характеризующие колеблемость значений варьирующего признака, позволяют, в частности, измерить степень связи и взаимосвязи, оценить степень однородно­сти совокупности, типичности и устойчивости средней, определить величину возможной погрешности выборочного наблюдения.

К абсолютным показателям вариации относят размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и квар­тальное отклонение.

Размах вариации показывает, на какую величину изменяется значение количественно варьирующего признака

R=xmax-xmin, где xmax(xmin) -максимальное (минимальное) значение признака в совокупности (в ряду распределе­ния).

Среднее линейное отклонение d определяется как средняя величина из отклонений вариантов признака от средней в первой степени, взятых по модулю:

Среднее линейное отклонение сравнительно редко применяется для оценки вариации признака. Обычно вычисляются дисперсия и среднее квадратическое отклонение .

Если необходимо сравнить колеблемость нескольких признаков в одной совокупности или же одного и того же признака в нескольких совокупностях с различными показателями центра распределения, то пользуются относитель­ными показателями вариации.

К ним относятся следующие показатели:

1. Коэффициент осцилляции:

2. Относительное линейное отклонение:

3. Коэффициент вариации:

4. Относительный показатель квартильной вариации:

Наиболее часто применяемый показатель относительной вариации - это коэффициент вариации. Этот показатель используют не только для сравни­тельной оценки вариации, но и как характеристику однородности совокупно­сти. Совокупность считается однородной, если <0,33.