7. Средние величины и показатели вариации

Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя - это один из распространенных приемов обобщений. Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средняя величина - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерностей изучаемого явления.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.

При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Например, средняя выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т.д.

Средняя выработка отражает общее свойство всей совокупности.

Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.

Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.

Существуют различные средние:

• средняя арифметическая;

• средняя геометрическая;

• средняя гармоническая;

• средняя квадратическая;

• средняя хронологическая.

8) Средняя арифметическая и её сво-йства.

Средняя арифметическая простая (взве-шенная). Эта форма средней использует-ся в тех случаях, когда расчёт осуществ-ляется по несгруппированным данным.

Предположим, семь членов бригады име-ют следующий стаж работы:

№ рабочего: 1 2 3 4 5 6 7

Стаж работы 10 3 5 12 11 7 9

Для того чтобы определить средний стаж работы, необходимо воспользоваться следующим соотношением:

ИСС=совокупный стаж работы/число рабочих

Запишем формулу данной средней:

Х=х_i/n.

Средняя арифметическая взвешенная. При расчёте средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчёт средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Х=(х_i*f_i/f_i).

Свойства средней арифметической.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты: хf_i = x_i*f_i

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

(x_i-x)*f_i=0.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

(x_i-C)²*f_i=(x_i-x+x-C)²*f_i=…= (x_i-x)²*f_i+2*(x-C)*0+(x-C)²*f_i.

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину:(x-C)²*f_i.

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

(x_i+-A)*f_i/f_i = x+-A.

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличиться или уменьшится в А раз:

(x_i/A)*f_i / f_i = 1 / A*x.

6. Если все веса уменьшить или увеличит в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

x_{i *} (f_i /A) / (f_i / A) = x.