14. Первая теорема двойственности

Для взаимодвойственных задач имеет место один из взаимоисключаемых случаев:

1. В прямой и двойственной задаче имеются оптимальные решения, то есть допустимое множество общих задач не пусто, при этом значения целевых функций на этих множествах совпадают.

2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое множество (т.е. решений нет) .

3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом в исходной задаче допустимое множество оказывается пустым.

4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

15. Вторая теорема двойственности. (Теорема о дополняющей нежесткости)

Пусть допустимое решение прямой задачи, а – допустимое решение двойственной задачи. Для того, чтобы они были оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

1. (4)

2. (5)

Условия 4,5 позволяют, зная оптимальное решение одной задачи, не решая, получить оптимальные значения другой задачи.

По первой теореме получаем оптимальное значение целевой функции, по второй – оптимальные вектора (решения).

16. Третья теорема двойственности. (Теорема об оценках)

Значение переменных y_i в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b_j системы ограничений на следующую величину:

Приращение целевой функции всегда равно приращению произведения свободных членов на y_i.

17. Задачи целочисленного программирования

Под задачей целочисленного программирования (ЦП) понимается задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать целые значения. В том случае, когда ограни­чения и целевая функция задачи представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. В противном случае, если хотя бы одна зави­симость – нелинейная, это будет целочисленная задача нелинейного программирования.

Задачи целочисленного программирования имеют особенность в виду дискретности ряда значений искомых переменных.

К целочисленным задачам относятся:

1. Задачи оптимизации раскроя, то есть нет смысла делать ползаготовки.

2. Задачи оптимизации проектирования

3. Задача оптимизации системы сервиса

Для нахождения оптимального решения целочисленных задач применяют специальные методы, в которых учитывается, что число возможных решений любой целочисленной задачи является конечным.

Экономико-математическая модель:

Если p=n, то задача называется полностью целочисленной. Если p‹n – частично целочисленная задача.

18.Транспортная задача

Пусть имеется некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m-поставщиков A_i в количестве a_i, , которое необходимо доставить n-потребителям B_j в количестве b_j, . Известна стоимость доставки от i-поставщика к j-потребителям – c_ij.

Задача: составить план перевозок, позволяющий с минимальными затратами вывезти все грузы и полностью удовлетворить потребности потребителей.

Экономико-математическая модель:

Обозначим через x_ij количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-поставщика к j-потребителю.

Так как известна стоимость перевозки единицы груза от i-поставщика к j-потребителю (c_ij), то общая стоимость перевозки составит c_ij*x_ij.

Транспортная задача относится к двухиндексным задачам линейного программирования, так как в результате ее решения необходимо найти матрицу Х с компонентами x_ij.

Стоимость всего плана выразится двойной суммой

Систему ограничений задачи получаем из следующих условий:

1. Все грузы должны быть перевезены

2. Все потребности должны быть удовлетворены

Таким образом, экономико-математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

– найти минимальное значение линейной функции

При ограничениях:

1. Все грузы должны быть перевезены

2. Все потребности должны быть удовлетворены

3. Все должны быть ≥0,

В предполагаемой задаче выполняется следующее условие: суммарные запасы равны суммарным потребностям.

Транспортная задача, в которой суммарные запасы равны суммарным потребностям, то есть выполняется последнее соотношение, называется закрытой моделью.

В противном случае – открытой.

Для открытых моделей существует 2 случая:

1. Суммарные запасы превышают суммарные потребности

2. Суммарные потребности превышают суммарные запасы

Открытая модель решается приведением к закрытой.

В первом случае вводится фиктивный потребитель B_n+1 , потребность которого отражается следующей формулой

Во втором случае вводится фиктивный поставщик

Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя и стоимость перевозки от фиктивного поставщика полагают равным 0, так как перевозки в этих случаях не производится.

В общем виде транспортная задача имеет m*n уравнений, с m*n неизвестными.

Матрицу перевозок Х=(х_ij)_m*n , удовлетворяющую всем условиям называют планом перевозок транспортной задачи, а ее компоненты x_ij – перевозками. План Х*, при котором целевая функция обращается в минимум, называют оптимальным планом транспортной задачи.