12. Графический метод решения задач линейного программирования

Данный метод предназначен для решения задач с двумя переменными.

Рассмотрим задачу (1), (2), (3) на плоскости.

• n=2

• пусть система функциональных неравенств задачи совместна (хотя бы одно нетривиальное (не равно 0) решение)

• каждое неравенство этой системы графически определяет полуплоскость, ограниченную прямой a_i1+a_i2=b_i; i=1,m

Условие неотрицательности графически определяют полуплоскости, ограниченные прямыми x₁=0, x₂=0.

Система совместна, поэтому полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая представляет собой совокупность точек, координаты которых являются решением данной системы.

Совокупность этих точек называют многоугольником решений.

По виду многоугольник решений может быть точкой, прямой, отрезком, ограниченным или неограниченным многоугольником.

Таким образом геометрически решение задач линейного программирования представляет собой поиск такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют целевой функции максимальное или минимальное значение, причем допустимыми значениями являются все координаты точек многоугольника.

Для нахождения максимального и минимального значения целевой функции используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции.

Вектор-градиент

Вектор-градиент показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. (Обычно выходит из точки 0,0 и проходит через ОДР в бесконечность). Далее строится линия уровня целевой функции.

Линия уровня – прямая, перпендикулярная вектору-градиенту.

Важным ее свойством является то, что при параллельном смещении линии в направлении вверх, уровень только возрастает; соответственно при перемещении в противоположном направлении – уровень убывает.

Строим вектор-градиент и линию уровня пока она не покинет ОДР задачи. При этом предельная точка области является точкой экстремума целевой функции.

13. Двойственность в задачах линейного программирования

С каждой задачей линейного программирования связана другая задача, называемая двойственной; при этом первоначальная задача называется исходной.

Связь исходной и двойственной задач заключается в том, что решение одной задачи можно получить из решения другой, используя теоремы.

Переменные двойственной задачи(y_i) называют:

• объективно обусловленные оценки

• двойственные оценки

• цены ресурсов

• теневые цены

Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется по следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи формируется на максимум, а целевая функция двойственной – на минимум. При этом в задаче на максимум все неравенства функциональных ограничений имеют вид ≤; задачи на минимум ≥.

2. Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе функциональных ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица А^Т двойственной задачи получаются друг из друга транспонированием.

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные переменные в системе функциональных ограничений исходной задачи. А правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной.

5. Каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи. Номер переменной совпадает с номером ограничения. При этом ограничению, записанному в виде неравенства ≤ соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения.