Кодовое расстояние и корректирующая способность кода

Под корректирующей способностью кода понимается его свойство обнаруживать и/или исправлять ошибку максимальной кратности g. Корректирующая способность кода связана с его кодовым расстоянием.

Расстоянием d_ij между кодовыми комбинациями (кодами) i и j называется число различных разрядов в кодовых комбинациях i и j.

Коды 01 и 10, расстояние между ними равно 2 - они различаются в двух разрядах.

Кодовым (минимальным кодовым) расстоянием d для кода, содержащего N  кодовых комбинаций, является минимальное расстояние между всеми парами кодовых комбинаций, т.е.

Кодовая таблица:

Исходные символы	Двоичные коды
a	00
b	01
c	10
d	11

Тогда расстояния между кодовыми комбинациями имеют значения:

d_ab = 1;    d_ad  = 2;   d_bd = 1;  d_ac  = 1; d_bc = 2;     d_cd = 1.

d = min{1, 2, 1, 1, 2, 1} = 1

Это означает, что всякая ошибка кратности 1 (и более) переводит исходную кодовую комбинацию в другую кодовую комбинацию, которая также принадлежит кодовой таблице.

Увеличить кодовое расстояние можно, введя в кодовые комбинации дополнительный разряд (или разряды). Тогда исходные разряды называют информационными, а дополнительные – проверочными или контрольными.

Для кодов из приведенной выше таблицы введем дополнительный разряд и сформируем его значение

Исходные символы	Информационные разряды кода	Проверочный разряд кода	Результирующий код
a	00	0	000
b	01	1	011
c	10	1	101
d	11	0	110

                               

Таким образом, полученный код является трехразрядным.

Определим кодовое расстояние полученного кода. Для этого вначале выясним расстояния между кодовыми комбинациями:

d_ab = 2;        d_ad  = 2;        d_bd = 2;        d_ac  = 2;        d_bc = 2;        d_cd = 2

 d = min{2, 2, 2, 2, 2, 2} = 2

*Пусть передается кодовая комбинация, соответствующая символу c, – 101. Пусть на нее накладывается ошибка кратности 1. Возможные результаты искажения приведены в таблице:

Передаваемая кодовая комбинация	Ошибка	Принимаемая кодовая комбинация
101	001	100
101	010	111
101	100	001

Получаемые кодовые комбинации невозможно декодировать, так как они отсутствуют в результирующем коде (см. таблицу выше).

В общем случае

,

где - кодовое расстояние, - число обнаруживаемых ошибок, - число исправляемых ошибок