Постановка задачи

Р ассмотрим результат соударения двух стальных шаров, подвешенных на нитях, с одинаковым расстоянием L от точки подвеса до центра масс шаров.

Если отклонить шар массой m₁ на угол ₀ и отпустить, то он, ударившись упруго о неподвижный шар массой m₂, передаст ему часть своей энергии и импульса (рис. 1). После удара шары отклонятся от вертикали соответственно на углы ₁ и ₂, а их центры масс поднимутся на высоты h₁ и h₂ по отношению к линии удара. При этом кинетическая энергия каждого шара, приобретенная им после удара, перейдет в его потенциальную энергию.

Из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 1):

, (1)

, (2)

где U₁ и U₂  скорости шаров непосредственно после удара.

В соответствии с законом сохранения импульса, при условии, что m₁ > m₂, в проекции на ось Х имеем:

m₁V₁ = m₁U₁ + m₂U₂ . (3)

Откуда следует, что

U₂ = m₁/m₂ (V₁ - U₁), (4)

где V₁  скорость 1-го шара в момент удара.

При малых углах отклонениях ( < 10) можно воспользоваться приближением sin  . С учетом этого, из конечных выражений (1) и (2) следует, что

, (5)

. (6)

Скорость V₁ определяется аналогичным образом:

. (7)

После подстановки в уравнение (4) выражений для скоростей V₁, U₁, U₂ , получим взаимосвязь между углами отклонения:

₂ = m₁/m₂ (₀  ₁), (8)

где углы ₀, ₁ и ₂ могут быть выражены как в радианах, так и в градусах.

Реальные материалы  сталь, керамика, резина и др.,  не являются, строго говоря, абсолютно упругими. Это означает, что при столкновении двух шаров в проводимых опытах закон сохранения механической энергии не выполняется: часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию деформируемых тел (тела при этом нагреваются). С учетом этого, закон сохранения полной энергии системы шаров запишем в виде:

, (9)

где ,  кинетические энергии первого шара до и после удара;  кинетическая энергия второго шара после удара; Q  энергия, которая перешла во внутреннюю энергию этих шаров после удара.

После несложных преобразований получим, что

. (10)

Заменяя выражение в первой скобке ее значением m₂U₂ согласно (3), в окончательном варианте имеем:

V₁ + U₁ = U₂ + 2Q/(m₂U₂). (11)

Безразмерную величину

(12)

называют коэффициентом восстановления скорости. Он характеризует меру упругости тел при их взаимодействии.

При абсолютно упругом ударе Q = 0 и К = 1. При абсолютно неупругом ударе оба тела движутся после удара вместе с одной и той же скоростью V = U₁ = U₂. В этом случае, как видно из (12), К=0. При этом величина потерь механической энергии, при фиксированных значениях m₁, m₂ и V₁, максимальна: Q = m₂V₁U₂/2.

Из формул (12), (5)  (7) получим, что

₂  ₁ = К₀. (13)

Отсюда следует, что если закон сохранения импульса верен и в случае потери энергии механической системы, то в пределах погрешности эксперимента график зависимости (₂  ₁) от ₀ должен представлять собой прямую линию. При этом угловой коэффициент наклона полученной прямой линии определяет значение К.

Отметим, что величина

(14)

есть ни что иное, как доля потерь механической энергии системы при ударе шаров.

Подставляя в формулу (12) получим, с учетом (6) и (7), что:

. (15)

Отсюда следует, что по угловому коэффициенту наклона прямой зависимости ₂ от ₀ можно определить долю потерь механической энергии  при известном значении К. Это, в конечном итоге, с учетом (7) и (14) позволяет рассчитать величину потерь механической энергии системы по формуле:

(16)

Для каждого из шаров, в соответствии с законом изменения его импульса, имеем:

и , (17)

где - время взаимодействия (продолжительность удара) шаров, и - соответствующие изменения скоростей шаров после удара, и - силы удара шаров.

После подстановки в (15) соответствующих выражений для скоростей получим

и . (18)

Откуда следует, что сила удара шаров определяется выражениями:

, (19)

. (20)

Данные зависимости служат основой для экспериментальной проверки выполнимости третьего закона Ньютона в случае упругого удара двух шаров: = .