Определение скорости звука и показателя адиабаты для воздуха

Цель работы: измерение скорости звука в воздухе методом стоячей волны и определение показателя адиабаты  для воздуха.

Постановка задачи

Одним из наиболее точных методов определения показателя адиабаты является метод, основанный на измерении скорости распространения звуковых волн в ограниченной газовой среде. Скорость продольных волн в упругой среде  определяется по формуле

, (1)

где Е - модуль упругости (модуль Юнга),  - плотность упругой среды.

По закону Гука модуль упругости характеризует упругость cреды и прямо пропорционален напряжению (F/S), равному избыточному давлению P, создаваемому продольной волной, и обратно пропорционален относительной продольной деформации столба газа вдоль направления распространения волны. Ее можно заменить объемной деформацией V/V (здесь V - изменение объема, вызванное изменением давления P). Тогда для модуля упругости газа получим выражение

. (2)

Здесь F - сила, приложенная к площади S.

В волновом процессе одни участки газа быстро сжимаются, другие - расширяются. В результате в одних участках происходит адиабатическое увеличение температуры, в других - уменьшение. Этому способствует и низкая теплопроводность газа, затрудняющая теплообмен. Поэтому для описания состояния газа нужно использовать уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона):

, (3)

где  - коэффициент Пуассона.

Продифференцируем уравнение (3) по объему V:

.Отсюда следует, что . Подставив это выражение в (2), получим для модуля упругости следующую формулу

E=P , (4)

где Р - давление в невозмущенном газе.

Выражение для плотности газа найдём из уравнения Менделеева - Клапейрона

, (5)

где m - масса газа в объеме V, Т - абсолютная температура газа,  - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная. Подставляя (4) и (5) в (1), получим

, откуда . (6)

С другой стороны, согласно молекулярно-кинетической теории,

, (7)

где С_p, С_v – молярные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно, i - число степеней свободы, которое для двухатомного газа равно 5.

В настоящей работе изучаются звуковые волны, распространяющиеся в воздушной однородной среде. Определение основных параметров этих волн (, ) производят на основе изучения конечного результата интерференции когерентных бегущих волн – стоячих волн. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от различного рода преград. При этом падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Уравнение падающей волны имеет вид

. (8)

Пренебрегая потерями энергии волны при отражении, уравнение отраженной волны можно записать в виде

. (9)

Здесь ₁ и ₂ - смещения от положения равновесия частиц среды, имеющих координату х, А - амплитуда этого смещения. Длина волны  =T = /ν где ν - частота колебаний частиц среды, связанная с периодом Т, ν =1/Т,  =2 ν - циклическая частота. Выражение аргумента «синуса» называется фазой колебаний. Изменение фазы колебаний на противоположную при отражении волны от более плотной среды (например, от микрофона) учтено в уравнении (9) добавлением к фазе слагаемого .

Суммарное смещение частицы под действием падающей и отраженной волн находится сложением уравнений (8) и (9). В результате получаем уравнение стоячей волны:

(10)

Амплитуда волны согласно (10) меняется с координатой по закону:

, (11)

и в заданной точке х остается неизменной, поэтому такая волна называется стоячей.

Рассмотрим два частных случая:

1. Пусть Это верно, если (k=0, 1, 2, ...), тогда

. (12)

В точках, удовлетворяющих условию (12), амплитуда колебаний равна нулю. Такие точки называются УЗЛАМИ стоячей волны. В них падающая и отраженная волны встречаются в противоположных фазах. Расстояние между соседними узлами равно /2. Действительно, x_(k+1)  x_(k) = (k+1)/2k/2 = /2.

2.Пусть . Это будет при , (k=0, 1, 2, ...). Отсюда

(13)

В этих точках амплитуда колебаний имеет максимум, равный согласно (11), удвоенной амплитуде смещения. Они называются ПУЧНОСТЯМИ стоячей волны. В них падающая и отраженная волны приходят в одинаковой фазе. Расстояние между соседними узлами и пучностями равно /2. Подчеркнем, что пучность, как и узел, представляет собой не одну точку, а геометрическое место точек, т.е. плоскость, перпендикулярную оси х, пересекающую эту ось в точке, определяемой формулой (13) для пучностей и (12) для узлов. График зависимости амплитуды колебаний молекул в стоячей волне в данном опыте, согласно формулам (11, 12, 13), имеет вид, представленный на рис. 1а. В то же время распределение концентрации частиц газа n₀ и давления P =n₀kT в волне будет изменяться так, как показано на рис. 1б. Видно, что наибольшее давление наблюдается там, где имеется наименьшее п еремещение, т.е. в узлах. Таким образом, в замкнутой трубе (рис. 2) устанавливается стоячая волна, имеющая узлы на закрытых концах трубы: х=0, х=L, если на длине трубы уложится целое число полуволн: k =2L/. Так как длина волны  равна расстоянию, на которое распространится волновой фронт за один период, двигаясь с фазовой скоростью (скорость звука ), легко установить ее связь с частотой:  =Т=/ν. Учитывая, что (из (12)), найдём частоты, при которых для трубы длиной L будет устанавливаться стоячая волна.

, (k=0, 1, 2, ..). (14)

Эти частоты называются СОБСТВЕННЫМИ или резонансными частотами колебаний воздушного столба. Из формулы (14) можно вывести два способа подбора условий резонанса: 1) L=const; при увеличении частоты, начиная с нуля, находят те ее значения ν_k, при которых будут наблюдаться первый, второй и т.д. максимумы; 2) ν=const; увеличивая L, находят значения, при которых будет наблюдаться первый, второй и т.д. максимумы.

СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка, предназначенная для изучения стоячих звуковых волн в закрытой трубе, представлена на рис. 2. Измерительный модуль содержит трубу 4 с поршнем 5 на линейке 6. Левый торец трубы закрыт стенкой 3. Через малые отверстия объем воздуха связан с одинаковыми динамиками: 1 – источник звуковых колебаний, 2 – приемник (микрофон). Первый динамик подключен к генератору низкой частоты, а второй – к осциллографу. Для стабилизации сигнала в модуль встроен микрофонный усилитель, питание которого осуществляется от сигнала генератора. Индикатор выходного напряжения усилителя 8 и ручка регулировки усиления 9 расположены на лицевой панели модуля. Координата поршня определяется по шкале линейки с помощью риски 7.

Если установить определенное значение частоты звуковой волны, то, перемещая поршень, можно изменять длину активной части трубы L и при фиксированной частоте наблюдать на экране осциллографа семейство (набор) стоячих волн. Если длина L не изменяется, то получение семейства стоячих волн производится путем изменения частоты сигнала.

Резонанс, соответствующий получению устойчивой стоячей волны, регистрируют по максимумам сигнала приемника. При этом установление резонанса определяется по максимуму свечения индикатора или по максимуму высоты тона микрофона. Для точного определения положения резонанса, после первоначальной фиксации сигнала, уменьшают свечение индикатора и уточняют положение резонанса вблизи первоначально определенной точки. Разность координат положения поршня , соответствующих соседним максимумам сигнала, равна половине длины звуковой волны:

. (15)

Зная частоту и длину волны можно рассчитать скорость звука по формуле:

, (16)

где  - частота звукового генератора.

Упражнение 1. Определение длины волны и скорости звука при фиксированной частоте звукового генератора.

1. Переместите поршень в крайнее левое положение.

2. Включите генератор. Дайте ему прогреться в течение 2-3 минут.

3. Поворачивая плавно рукоятку “Амплитуда”, установите амплитуду выходного сигнала генератора на уровне 4 В.

4. Нажмите кнопку множителя “10” и “100” на внешней панели генератора. Затем установите на генераторе частоту 1000 Гц, поворачивая рукоятки “частота – грубо”, ” частота – плавно”.

5. Рукоятку интенсивности свечения индикаторной лампы установите в среднее положение между позициями “0” и “max”.

6. Увеличивая длину воздушной трубы перемещением поршня вправо, зафиксируйте координаты двух ближайших максимумов стоячей волны по наибольшей высоте тона звукового сигнала и яркости свечения индикатора. Можно считать серединой отрезка воздушной трубы, соответствующего началу и окончанию свечения индикатора (звукового сигнала) генератора.

7. По формулам (15) и (16) вычислите длину волны и скорость звука. Полученные результаты занесите в таблицу.

8. Увеличьте частоту на 200 Гц. Повторите пункты 5, 6 и 7 меняя частоту до 2000 Гц. Результаты измерений и расчетов занесите в табл. 1.

9. Постройте график зависимости  от 1/ν.

10. Определите угловой коэффициент прямой, соответствующий скорости звука в воздухе: =/(1/ν).

11. Рассчитайте среднее значение скорости звука по результатам измерения для шести различных значений частоты. Вычислите абсолютную погрешность каждого измерения.

12. Оцените среднюю абсолютную погрешность

13. Окончательный результат представить в виде: . Определите относительную погрешность .

14. Сравните полученное экспериментальное значение скорости звука в воздухе с табличным. Сделать вывод.

Таблица 1

	Частота генератора , Гц
	1000	1200	1400	1600	1800	2000
, м
, м
, м
, м
, м/с
, м/с

Упражнение 2. Определение длины волны и скорости звука при фиксированной длине L активной части трубы.

Определите с помощью термометра температуру в лаборатории t.

1. Включите установку в сеть. Прогрейте осциллограф и звуковой генератор в течение 5 мин.

2. Установите длину активной части трубы L в пределах от 5 до 25 см, задавая положение поршня по линейке с помощью риски 7 (см. рис. 2).

3. Исходя из примерного значения скорости звука в воздухе (340 м/с) оцените с помощью формулы (14), вблизи каких значений частот следует искать первые 10 максимумов.

4. Выставьте на генераторе какую-либо частоту из полученного в пункте 3 диапазона частот. Подберите напряжение на выходе генератора такое, чтобы на осциллографе наблюдались синусоидальные колебания достаточной амплитуды. При наличии искажений уменьшите амплитуду сигнала до их исчезновения.

5. Плавно увеличивая частоту генератора, получите 10 последовательных резонансных значений частоты, отмечая момент резонанса по максимальному значению амплитуды колебаний. Убедитесь в повторяемости результатов, производя измерения в обратном порядке, т.е. уменьшая частоту. Результаты занесите в табл. 2.

6. Расчитайте среднее значение частоты <ν_k > для каждого из максимумов и постройте график зависимости <ν_k> от k. Определите угловой коэффициент полученной прямой, и затем скорость звука в воздухе .

7. По формуле (16) с учетом экспериментально определенного значения скорости звука  рассчитайте для каждого значения частоты величину длины волны λ. Результаты занесите в табл. 2.

Таблица 2

к	fk, Гц		<νk>, Гц	λ, м
	прямо	Обратно
1
2
3
...
10

8. Сравните полученные в обоих упражнениях значения скорости звука. Определите их среднее значение .

9. По формуле (6) с учетом значения скорости расчитайте величину показателя адиабаты .

10.Сравните найденное значение  с теоретическим значением _теор , где i - число степеней свободы молекул. Для воздуха i = 5.

11.Сделайте соответствующие выводы по работе.