6. Закон больших чисел
Теоретические сведения
Неравенство
Маркова:
если случайная величина X
принимает неотрицательные значения и
имеет математическое ожидание M
(X),
то для любого положительного числа A
выполняется неравенство:
Здесь слева находится вероятность того, что случайная величина X принимает значения не меньше, чем число A.
Неравенство Чебышева: если случайная величина X имеет дисперсию D (X), то для любого положительного числа ε выполняется неравенство:
Здесь слева находится вероятность того, что значения случайной величины X отклоняются от M (X) меньше, чем на ε по абсолютной величине.
Теорема
Чебышева: если последовательность
попарно независимых случайных величин
X1, X2,
…, Xn,
… имеет конечные мат. ожидания и дисперсии
этих величин ограничены одним и тем же
числом C, то среднее
арифметическое первых n
случайных величин
сходится по вероятности к среднему
арифметическому их математических
ожиданий
т.е. для любого числа ε > 0 выполняется:
причём
правая часть стремится к 1 при n
→ ∞.
Пример 6. Среднее число взрослых людей, посещающих зоопарк за один будний день равно 60. Оценить вероятность того, что в течение дня будет: а) не менее 100 посетителей; б) менее 120 посетителей.
Решение: Пусть X – число взрослых людей, посещающих зоопарк за один будний день. Тогда X неотрицательная случайная величина, её значение колеблется вокруг 60 и, следовательно, 60 можно взять за её математическое ожидание, т.е. M (X) = 60.
а) По
неравенству Маркова:
= 0,6.
б) событие
X < 120 является
противоположным событию X
≥ 120, поэтому P(X
< 120) =1 – P(X
≥ 120). По неравенству Маркова:
= 0,5. Тогда P(X
< 120) =1 – 0,5 = 0,5.
Ответ: а) 0,6; б) 0,5.
Задачи для аудиторной работы:
6.1. Средние ежемесячные расходы на покупку канцелярских принадлежностей для центра психологической помощи составляют 1000 рублей, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 рублей. Оценить вероятность того, что расходы на канцелярские принадлежности в любой наугад выбранный месяц не превысят 2000 рублей, используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышева.
6.2. Для новогоднего праздника мальчик должен сделать гирлянду из 400 электрических лампочек. Он решил включить их параллельно. Лампочки оказались низкого качества – вероятность того, что какая-либо из них погаснет во время праздника, составляет 0,5. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что число горящих лампочек будет заключено между 100 и 300.
6.3. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 2 000 000 тугриков, а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 000 тугриков, равна 0,8. Определить число вкладчиков банка.
6.4. По статистическим данным в среднем 87% новорождённых доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1 000 новорождённых доля (относительная частота) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности по модулю не более, чем на 0,04.
6.5. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор в течении часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течении следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.
6.6. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6.7. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?
Задачи для самостоятельной работы:
6.8. Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равно 16 км/час. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что в этом пункте скорость ветра (при одном наблюдении) не превысит 80 км/час.
6.9. Средний расход воды в населенном пункте составляет 50 000 л в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте в данный день расход воды не превысит 150 000 л.
6.10. Среднее количество выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 55 см. Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет 175 см.
6.11. Число солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной с математическим ожиданием, равным 75 дням. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 200 солнечных дней.
6.12. Среднее потребление электроэнергии за сентябрь населением одного из районов г. Барнаула равно 36 000 кВт·ч. Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в сентябре текущего года превзойдет 100 000 кВт·ч.
6.13. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.
6.14. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).
6.15. Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что частота появления герба при ста бросаниях монеты отклонится от вероятности не более, чем на 0,1. Сравнить найденную вероятность с вероятностью, полученной с помощью интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6.16. Вероятность некоторого события в каждом испытании из серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01. Сравнить полученные оценки с результатами применения интегральной формулы Муавра-Лапласа.
6.17. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?