4. Числовые характеристики случайных величин

Теоретические сведения

Вероятность того, что случайная величина X принимает значения в промежутке [a; b] вычисляется по формулам:

а)  б) 

Математическое ожидание дискретной случайной величины:

M (X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + x_n·p_n =

где x_i – значения сл. величины X с соответствующими вероятностями p_i.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

M (X) =

Если все возможные значения x (a; b), то M (X) =

Дисперсия дискретной случайной величины:

D (X) = M (X – M (X))² или D (X) = M (X²) – (M (X))²

Дисперсия непрерывной случайной величины:

D (X) = или D (X) =

Если все возможные значения x (a; b), то

D (X) = или D (X) =

Среднее квадратическое отклонение: σ (X) = .

Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины называется то её значение, в котором плотность вероятности максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины называется абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Коэффициент асимметрии: где

а) для дискретной случайной величины:

б) для непрерывной :

Пример 4. Найти мат. ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, имеющей закон распределения:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

Решение: X – это дискретная случайная величина =>

M (X) = = 0·0,2 + 1·0,4 + 2·0,3 + 3·0,08 + 4·0,02 = 1,32.

Найдём D (X): 1сп.) D(X) = M (X – M (X))² = (x₁ – M (X))²·p₁+ (x₂ – M (X))²·p₂ + + (x₃ – M (X))²·p₃ + (x₄ – M (X))²·p₄ + (x₅ – M (X))²·p₅ = (0 – 1,32)²·0,2 + (1 – – 1,32)² · 0,4 + (2 – 1,32)² · 0,3 + (3 – 1,32)² · 0,08 + (4 – 1,32)² · 0,02 ≈ 0,9.

2сп.) вычислим M (X²) = 0² · 0,2 + 1² · 0,4 + 2² · 0,3 + 3² · 0,08 + 4² · 0,02 = 2,64 => D (X) = M (X ²) – (M (X))² = 2,64 – 1,32² ≈ 0,9.

Тогда σ (X) = = ≈ 0,95.

Ответ: 1,32; 0,9; 0,95.

Задачи для устных вычислений:

4.1. Определить значение a и найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения вероятностей:

Х	– 1	5
Р	0,2	a

4.2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны соответственно 2 и 10. Найти математическое ожидание и дисперсию величины 2X + 5.

4.3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:

Х	1	0
Р	0,5	0,5

4.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, заданной плотностью вероятности f (x) = 1 на отрезке от 0 до 1 и f (x) = 0 для остальных x.

4.5. Найти моду ряда 1, 2, 3, 3, 4, 5.

Задачи для аудиторной работы:

4.6. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти плотность распределения f (x) и вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше 3; б) не меньше 3; в) из промежутка [0; 2,6); г) из промежутка [3; 5).

4.7. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти вероятность того, что при трёх опытах Х дважды попадёт в интервал (π/6; π/4).

4.8. Два орудия стреляют по цели. Вероятности попадания в цель при одном выстреле для них равны соответственно 0,7 и 0,8. Составить закон распределения числа попаданий в мишень при одном залпе. Построить функцию распределения и найти математическое ожидание, дисперсию и моду.

4.9. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, коэффициент асимметрии случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	-5	2	3	4
Р	0,4	0,3	0,1	0,2

4.10. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти параметр а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задачи для самостоятельной работы:

4.11. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, а также известны М (Х) = 2,3 и М (Х²) = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

4.12. Случайная величина X принимает значения 7; 9; 10; 11 и 13 (каждое с вероятностью 1/5), а случайная величина Y принимает значения 22; 24; 25; 26; 28 (также каждое с вероятностью 1/5). Найти D (X) и D (Y).

4.13. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента при включении равна 0,1. Составить закон распределения числа элементов, отказавших при включении. Построить функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию, моду.

4.14. Случайные величины X и Y распределены одинаково:

Х, Y	-5	0	5	10
Р	0,1	0,2	0,5	0,2

Составить ряды распределения случайных величин Z = X² и S = XY.

4.15. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти все возможные значения параметра c.

4.16. В условиях предыдущей задачи известно, что F (X) непрерывна в точке x = 2. Найти значение параметра c и P(X ≥ 1).

4.17. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение Х.

4.18. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти значение a и P(1 ≤ X < 2,5).

4.19. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика описывается случайной величиной X с плотностью распределения

Найти значение параметра c, средний годовой доход и среднее квадратическое отклонение годового дохода. Определить размер годового дохода, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

4.20. Случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти значение параметра a, функцию распределения F (x), математическое ожидание, дисперсию. Построить графики функций f (x) и F (x). Вычислить P(|X – M(X)|< 0,5).

4.21. Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины с функцией распределения