Кравченко Г.В.

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие для студентов факультета психологии

СОДЕРЖАНИЕ

1. КЛАССИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Теоретические сведения

Классическое определение вероятности. Если m – число благоприятствующих исходов для события В, а n – общее число исходов, то

Геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что точка попадёт в фигуру В, лежащую внутри фигуры А, определяется по формуле:

Условной вероятностью события В при условии А (обозначается Р(В\А)) называется вероятность события В, вычисленная при предположении, что событие А произошло.

Теорема умножения. Если события А и В независимые, то

Р(А·В) = Р(А)·Р(В).

Для произвольных случайных событий А и В:

Р(А·В) = Р(А)·P(В\A) = Р(В)·P(А\B).

Теорема сложения. Для произвольных случайных событий А и В верно соотношение: Р(А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(А·В).

Пример 1. Студент подготовил к экзамену 15 вопросов из 20. Билет содержит 3 вопроса. Какова вероятность того, что два из них студент знает, а один – нет?

Решение: А ={студент знает 2 вопроса из 3 предложенных}.

Число всех исходов = 1140.

Чтобы найти число исходов, благоприятных событию А (это m), нужно перебрать все возможные пары вопросов из 15, подготовленных студентом, т.е. найти Затем каждую такую пару дополнить до 3-х вопросов одним из (20 – 15) = 5 неподготовленных, т.е. найти

Тогда = 5·105 = 525. Значит, Р(А) = 0,46.

Ответ: 0,46.

Задачи для устных вычислений:

1.1. В ящике 20 пронумерованных шаров от 1 до 20. Какова вероятность вынуть шар с номером 23?

1.2. Из корзины с 5 красными и 10 зелёными яблоками вынимают одно яблоко. Какова вероятность того, что оно будет: а) жёлтым; б) зелёным.

1.3. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?

1.4. В лотерее 1000 билетов, половина из них – выигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

1.5. В квадрат со стороной 12 брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет в выделенную область.

Задачи для аудиторной работы:

1.6. При перевозке ящика, содержащего 21 стандартную и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь (неизвестно какая). После перевозке наудачу извлечённая из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

1.7. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков: а) равна 3; б) меньше 5.

1.8. Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число. Какова вероятность того, что это число делится на 5?

1.9. В урне находятся 13 белых и 17 чёрных шаров. Извлекаются 5 шаров. Найти вероятность извлечения: а) двух белых шаров; б) хотя бы одного белого шара.

1.10. Три мужчины и 6 женщин случайным образом по трое рассаживаются за 3 столика. Какова вероятность того, что за каждым столиком окажется мужчина?

1.11. В круг радиуса 10 см помещена монета радиуса 1 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, попадёт в монету.

1.12. На прямолинейном участке газопровода длиной 80 км произошел разрыв. Какова вероятность того, что разрыв удален от обоих концов участка на расстояние, большее 30 км?

1.13. По цели произведено 20 выстрелов, причём зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.

1.14. Игральная кость подбрасывается 3 раза. Какова вероятность того, что: а) шестёрка не появится ни разу; б) шестёрка появится хотя бы один раз?

1.15. Из 40 экзаменационных вопросов студент выучил 30. Какова вероятность того, что он ответит: а) на 3 заданных вопроса; б) на два из трех заданных вопросов?

Задачи для самостоятельной работы:

1.16. Поезд метро состоит из 6 вагонов. Какова вероятность того, что 3 пассажира сядут в один вагон?

1.17. В первой коробке находятся карточки с цифрами от 1 до 5, а во второй – с цифрами от 6 до 10. Из каждой коробки вынули по одной карточке. Какова вероятность того, что сумма цифр вынутых карточек: а) не менее 7; б) равна 11; в) не больше 11?

1.18. Цветочница выставила на продажу 15 белых и 10 красных роз. Покупатель просит собрать ему букет из 5 роз. Какова вероятность того, что в букете будет 2 белые и 3 красные розы?

1.19. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены десять карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

1.20. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

1.21. Наудачу выбрано простое число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что оно имеет вид: а) 4k+1; б) 4k+3; в) 6k+5 (k = 0, 1, …)?

1.22. Восемь человек садятся за круглый стол в произвольном порядке. Какова вероятность того, что два определенных лица будут сидеть рядом?

1.23. Пять юношей и две девушки случайным образом становятся в круг для игры в волейбол. Какова вероятность того, что обе девушки окажутся рядом?

1.24. Быстро вращающийся диск разделён на 6 одинаковых секторов, попеременно окрашенных в красный и белый цвет. По диску произведён выстрел, и пуля попала в диск. Найти вероятность того, что пуля попала в один из красных секторов.

1.25. В районе поиска парашютиста (квадрат со стороной 5 км) находится озеро, поверхность которого можно приблизительно считать совпадающей с поверхностью круга радиуса 1 км. Предполагая, что парашютист мог приземлиться в любой точке рассматриваемого квадрата, найти вероятность того, что парашютист приводнился на поверхность озера.

1.26. Расстояние от пункта А до В автобус проходит за 2 минуты, а пешеход – за 15 минут. Интервал движения автобусов 25 минут. Пешеход в случайный момент времени отправляется из А в В. Какова вероятность того, что в пути пешехода догонит очередной автобус?

1.27. Из промежутка [0; 2] наугад выбирается два числа. Какова вероятность того, что их произведение больше 2?

1.28. Компьютер сгенерировал два числа из промежутка [-1; 2]. Какова вероятность, что их сумма больше 1, а произведение меньше 1?

1.29. В группе из 30 студентов на контрольной работе по высшей математике 6 учащихся получили оценку «отлично», 10 – «хорошо», 9 – «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все три студента, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?

1.30. Пять мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина, если число мужчин и женщин в выборке любого объёма одинаково?

2. Формула полной вероятности. Формула байеса

Теоретические сведения

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂, …, Н_n, вычисляется по формуле полной вероятности: Р(А) =

Если событие А, которое может наступить лишь при условии появления одной из гипотез, образующих полную группу событий, уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

Пример 2. В урну, содержащую 2 шара, помещён белый шар, после этого из неё наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о начальном составе шаров по цвету.

Решение: Пусть А ={извлечён белый шар}, Н₁ ={в урне белых шаров не было}, Н₂ ={в урне был один белый шар}, Н₃ ={в урне было два белых шара}.

События Н₁, Н₂, Н₃ равновероятны => Р(Н₁) + Р(Н₂) + Р(Н₃) = 1 => Р(Н₁) = =Р(Н₂) = Р(Н₃) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, равна Р(А\Н₁) = 1/3. Аналогично, Р(А\Н₂) = 2/3 и Р(А\Н₃) = 3/3 = 1 => по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁)·Р(А\Н₁) + Р(Н₂)·Р(А\Н₂) + Р(Н₃)·Р(А\Н₃) =

Ответ: 2/3.

Задачи для устных вычислений:

2.1. В урне находятся 10 шаров с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 шара. Найти вероятность того, что последовательно появятся шары с номерами 1, 8, 5, если шары извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением.

2.2. Два студента играют в следующую игру: один задумывает некоторое число в пределах от 1 до 9, а другой его угадывает. Какова вероятность того, что число будет угадано с третьей попытки?

2.3. В группе 10 студентов. Вероятность того, что два вызванных к доске студента будут юношами, равна 2/15. Сколько в группе юношей?

2.4. В первой урне 2 черных и 8 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

2.5. Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором порядок состязания определяется жребием. Среди восьми рыцарей, одинаково искушенных в ратном деле, два близнеца. Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?

Задачи для аудиторной работы:

2.6. Из коробки с 8 красными и 4 зелёными карандашами последовательно вынимают три карандаша. Какова вероятность вынуть три красных карандаша?

2.7. В группе из 30 студентов проводился экспресс-тест «Узнай свой характер». При определении «ведущей руки» у 3 испытуемых это оказалась левая рука, а при определении «ведущего глаза» у 10 студентов оказался правый глаз. Какова вероятность того, что у случайно выбранного студента этой группы ведущими будут левая рука или левый глаз?

2.8. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, Р, Р, Р, Д, Д. Наугад берётся 5 карточек и прикладывается одна к другой слева направо. Какова вероятность того, что случайно будет сложено слово «радар»?

2.9. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 человека подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах находятся 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на все три заданных ему вопроса. Найти вероятность того, что этот студент: а) подготовлен отлично; б) подготовлен плохо.

2.10. Молодой человек обычно дарит девушке к каждому празднику букет цветов: в 30% случаев – из гвоздик, в 70% случаев – из роз. Зимой букет из роз может простоять неделю с вероятностью 0,4, а букет из гвоздик – с вероятностью 0,9. В последний раз букет простоял целую неделю. Какие цветы наиболее вероятно были подарены?

2.11. Медицинский анализ выявляет имеющуюся у больного болезнь W с вероятностью 0,8 и ошибочно указывает на эту болезнь при ее отсутствии с вероятностью 0,05. У больных, направленных на анализ с предварительным диагнозом о болезни W, болезнь W встречается с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что у пациента: а) анализ укажет на болезнь W; б) действи­тельно имеется болезнь W, если на нее указал медицинский анализ.

2.12. Батарея их трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первой орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель орудиями соответственно равны 0,4; 0,3; 0,5.

Задачи для самостоятельной работы:

2.13. Сколько надо взять игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,7, можно было ожидать выпадения 6 очков хотя бы на одной кости?

2.14. В группе из 30 студентов 12 юношей. Для участия в форуме нужно выбрать делегацию из двух человек. Найти вероятность того, что случайным образом будут выбраны: а) два юноши; б) две девушки; в) девушка и юноша.

2.15. Известно, что вероятность двум близнецам быть одного пола примерно равна 0,64, причём вероятность рождения мальчика близка к 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов – мальчик, при условии, что первый из них – также мальчик.

2.16. В ящике лежат 15 новых и 5 игранных теннисных мячей. Для игры наудачу выбираются два мяча, и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу отбираются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

2.17. По каналу связи передаются три сообщения. Каждое из них независимо от других искажается с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что: а) все сообщения переданы без искажений; б) все сообщения искажены; в) хотя бы одно сообщение искажено; г) ровно одно сообщение передано без искажений; д) ровно два сообщения переданы без искажений.

2.18. На 8 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, М, М, М. Ребёнок наугад вытаскивает одну за другой 4 карточки и прикладывает их друг к другу слева направо. Какова вероятность того, что он случайно сложит слово «амам»?

2.19. При переписи населения Англии и Уэльса в 1891 г. оказалось, что темноволосые отцы и темноволосые сыновья составляют 5% обследованных, темноволосые отцы и светловолосые сыновья – 7,9%, светловолосые отцы и темноволосые сыновья – 8,9%, светловолосые отцы и светловолосые сыновья – 78,2%. Найти условные вероятности рождения светловолосого сына у темноволосого и светловолосого отцов.

2.20. На каждой карточке написано по одной букве. Из шести таких карточек составлено слово «ракета». Затем эти карточки перемешиваются и наугад извлекаются по одной. Найти вероятность того, что в порядке поступления букв будет образовано слово «карета».

2.21. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди взяли по одному билету. Найти вероятность того, что: а) первый студент взял «хороший» билет; б) оба студента взяли «хорошие» билеты; в) второй студент взял «плохой» билет.

2.22. На трёх дочерей в семье возложена обязанность мыть посуду. Старшей приходится выполнять 40% всех работы. Остальные 60% работы приходятся поровну на других дочерей. Вероятности разбить посуду (в течение одного мытья) для девочек равны соответственно 0,02; 0,03; 0,04. Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они слышали эвон разбитой посуды. Какова вероятность того, что посуду мыла: а) старшая дочь; б) средняя дочь; в) младшая дочь?

2.23. В отделение больницы поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% – с заболеванием В, 20% – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7; болезни В – 0,8; болезни С – 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что у него было заболевание А.

2.24. Три стрелка произвели залп. Причём две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.

2.25. По статистическим данным в данном регионе арестованный, подозреваемый в тяжком преступлении, виновен с вероятностью 0,9. Виновный осуждается с вероятностью 0,8. Невиновный ошибочно осуждается с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что а) арестованный подозреваемый не будет осужден; б) арестованный по подозрению в преступлении, но не осуждённый, в действительности виновен, т.е. не осужден ошибочно.

2.26. В группе 15 студентов. Из них: 5 «отличников», 7 «хорошистов» и 3 «троечника». Известно, что «отличник» с вероятность 0,9 получает на каждом экзамене «отлично» и с вероятностью 0,1 – «хорошо». Аналогично «хорошист» с вероятностью 0,1 получает «отлично», с вероятностью 0,7 – «хорошо» и с вероятностью 0,2 – «удовлетворительно». Наконец, «троечник» получает с вероятностью 0,1 «отлично», с вероятностью 0,2 – «хорошо» и с вероятностью 0,7 – «удовлетворительно». Один из студентов из этой группы получил на первом экзамене «хорошо». Найти вероятность того, что на следующем экзамене он получит «отлично».