Координаты вершин многоугольника допустимых решений и значения целевой функции

Порядковый	Вершина	Координаты вершины		Целевая,
номер плана	(точка)	Число изделий 1	Число изделий 2	функция, тыс. руб.
1	А	15	10	41,25
2	В	15	28	68,25
3	С	30	16	76,50
4	D	33	10	72,75

Сравнивая значения целевой функции в последней колонке табл. 2, можно сделать вывод, что оптимальным является план 3 (вершина С многоугольника допустимых решений), предполагающий производство 30 изделий 1 и 16 изделий 2. Ему отвечает наибольшая прогнозируемая прибыль 76,5 тыс. руб. План (программа) производства 4 обладает несколько худшими характеристиками: при его реализации прибыль составит 72,75 тыс. руб.

Другим способом выбора оптимального решения является графический метод. На том же рис. 1 строим прямую, отвечающую нулевому значению целевой функции Ц = 0. Приравнивая нулю выражение для целевой функции Ц = 1,75х₁ + 1,50х₂, получаем:

х₂ = –7/6 х₁.

Это прямая, проходящая через начало координат и имеющая отрицательный наклон к оси Ох₁ (на рис. 1 обозначена меткой Ц = 0). Другим значениям целевой функции также соответствуют прямые, параллельные прямой Ц = 0, причем по мере их “смещения” относительно исходной прямой Ц = 0 в направлении стрелки значения целевой функции будут увеличиваться. Крайняя прямая, касающаяся многоугольника допустимых решений в вершине С, соответствует значению целевой функции Ц = 76,5 тыс. руб (сплошная линия на рис. 1 с меткой Ц = 76,5).

Дальнейшие вычисления сводятся к расчету координат вершины С, отвечающей оптимальному плану производства, т.е. к решению системы уравнений

4х₁ + 5х₂ = 200;

8х₁ + 5х₂ = 320.

Координаты вершины С: х₁ = 30; х₂ = 16 интерпретируются как план производства изделий 1 и 2.

О т в е т. Оптимальным является план производства 30 изделий вида 1 и 16 изделий вида 2. Ему отвечает наибольшая прогнозируемая прибыль 76,5 тыс. руб.

Задача 2 (транспортная задача). На три стройки (W₁, W₂, W₃) необходимо поставить кирпич, причем имеется возможность поставок с двух заводов (F₁, F₂). Потребности строек в кирпиче w_j, возможности поставок с каждого завода f_i и издержки перевозок кирпича автомашинами c i-го завода на j-ю стройку c_ij указаны в табл. 3.

Т а б л и ц а 3

Исходные данные задачи (издержки перевозок cij, потребности wj, мощности поставок fi)

	Издержки перевозок с i-го завода на j-ю стройку, тыс. руб на машину			Возможности поставок заводов,
Кирпичные		Стройки		автомашин в
заводы	W1	W2	W3	неделю
F1	с11 = 5	с12 = 2	с13 = 1	f1 = 10
F2	с21 = 3	с22 = 3	с23 = 4	f2 = 15
Потребность строек, автомашин в неделю	w1 = 8	w2 = 10	w3 = 7	= = 25

Необходимо решить, какое количество машин и с какого кирпичного завода надо отгрузить на каждую стройку, чтобы еженедельные издержки на его транспортировку были минимальными.

У к а з а н и я к р е ш е н и ю. Сведите задачу к двумерному виду и решите ее графическим методом.

Р е ш е н и е. Задача может быть сформулирована как стандартная задача линейного программирования с минимизируемой целевой функцией.

Обозначим через y_{1 —} количество автомашин кирпича, доставляемого с завода F₁ на стройку W₁, а через y_{2 —} количество автомашин кирпича, доставляемого с завода F₁ на стройку W₂. Поскольку общая потребность строек в кирпиче задана, а также задано количество автомашин кирпича, которые может отгрузить каждый завод, то можно от трехмерной задачи перейти к двумерной, выразив количество автомашин кирпича, отгружаемого с завода F₁ на третью стройку W₃, а также количество автомашин кирпича, отгружаемого с завода F₂ на все три стройки, через введенные переменные y₁ и y₂. Тогда таблица перевозок будет выглядеть следующим образом (табл. 4).

Т а б л и ц а 4

Таблица перевозок

Кирпичные заводы		Стройки		Возможности поставок,
	W1	W2	W3	автомашин в неделю
F1	y1	y2	10 – (y1 + y2)	f1 = 10
F2	8 – y1	10 – y2	7 – [10 – (y1 + y2)]	f2 = 15
Потребность строек, автомашин в неделю	w1 = 8	w2 = 10	w3 = 7	= = = 25

Обозначим через n_{ij —} число автомашин, перевозящих кирпич с i-го завода на j-ю стройку. Тогда целевая функция D — транспортные издержки — выразится формулой

D = .

Подставив вместо с_ij и n_ij их значения из табл. 3, 4, получаем:

D = 5y₁ + 2y₂ + 1[10 – (y₁ + y₂)] + 3(8 – y₁) + 3(10 – y₂) + 4{7 – [10 –

– (y₁ + y₂)]} = 5y₁ + 2y₂ + 52.

Ограничения следуют из того, что все числа в ячейках таблицы перевозок (табл. 4) не должны быть меньше нуля, т. е. имеем следующие шесть неравенств:

y_{1 ³} 0;

y_{2 ³} 0;

10 – (y₁ + y₂) _³ 0;

8 – y_{1 ³} 0;

10 – y_{2 ³} 0;

7 – 10 + (y₁ + y₂) _³ 0.

Преобразовав неравенства-ограничения, получаем:

y_{1 ³} 0;

y_{2 ³} 0;

y₁ + y₂ £ 10;

y_{1 £} 8;

y_{2 £} 10;

y₁ + y₂ ³ 3.

Теперь задача сводится к двумерной и формулируется следующим образом: найти вершину (или точку) области допустимых решений, заданной системой неравенств-ограничений

8 ³ y_{1 ³} 0;

10 ³ y_{2 ³} 0;

y₁ + y₂ £ 10;

y₁ + y₂ ³ 3,

для которой целевая функция D = 5y₁ + 2y₂ + 52 достигает минимального значения.

Находим множество допустимых решений, представив ограничения задачи минимизации целевой функции в виде пересечения множества решений (рис. 2).

График строим в той же последовательности, что и в задаче 1.

Вначале наносим линии (пунктирные прямые на рис. 2), уравнения которых заданы равенствами, получаемыми из соответствующих неравенств-ограничений:

y₁ + y₂ = 10;

y₁ = 8;

y₂ = 10;

y₁ + y₂ = 3.

Первые два равенства y₁ = 0; y₂ = 0 дают оси координат Оy₁ и Оy₂.

y₂

y₁ = 8

B y₂ = 10

8 y₁ + y₂ = 10

D = 58 6

A

2 y₁ + y₂ = 3 C

D = 52

0

0 2 E 4 6 D 10 y₁

Рис. 2. Графическое решение задачи оптимизации перевозок

Из неравенств и геометрических соображений ясно, что область допустимых решений ограничена многоугольником ABCDЕ.

Оптимальное решение находим графическим методом. На том же рис. 2 строим прямую, отвечающую значению целевой функции D = 52. Из выражения для целевой функции D = 5y₁ + 2y₂ + 52 получаем:

у₂ = –5/2 у₁.

Это прямая, проходящая через начало координат и имеющая отрицательный наклон к оси Оу₁ (на рис. 2 обозначена меткой D = 52). Другим значениям целевой функции также соответствуют прямые, параллельные прямой D = 52, причем по мере их “смещения” относительно исходной прямой D = 52 в направлении стрелки значения целевой функции будут увеличиваться. Крайняя прямая, касающаяся многоугольника допустимых решений в вершине А с координатами у₁ = 0; у₂ = 3, соответствует минимальному значению целевой функции D = 58 тыс. руб (сплошная линия на рис. 2 с меткой D = 58).

Подставляя значения у₁ = 0; у₂ = 3 в ячейки табл. 4, получаем оптимальный план перевозок (табл. 5).

О т в е т. Оптимальным является план перевозок, указанный в табл. 5. Ему отвечают наименьшие транспортные издержки 58 тыс. руб.

Т а б л и ц а 5