Двойственные задачи линейного программирования

Первая задача	Вторая задача
Ограничения
Все хi ³ 0, i = 1, 2	Все yj ³ 0, j = 1, 2, 3, 4
, j = 1, 2, 3, 4:	, i = 1, 2:
8х1 + 5х2 £ 320; 4х1 + 5х2 £ 200; -1х1 + 0х2 £ -15; 0х1 + (-1)х2 £ -10	8y1 + 4y2 + (-1)y3 + 0y4 ³ 1,75 5y1 + 5y2 + 0y3 + (-1)y4 ³ 1,50
Целевая функция
Ц = , n = 2:	D = , m = 4:
Ц = 1,75х1 + 1,50х2	D = 320y1 + 200y2 - 15y3 - 10y4
Задача
Максимизировать Ц	Минимизировать D

Первая задача является двумерной и может быть решена графическим методом.

На первом этапе решения находим множество допустимых решений, представив ограничения задачи максимизации целевой функции в виде пересечения множества решений, каждое из которых выражается линейным неравенством с двумя неизвестными х₁ и х₂ (рис. 1).

_{Ц =76,5} x₂ x_{1 = 15}

₇₀

₆₀

₅₀

_{40 8}x_{1 + 5}x_{2 = 320}

_{Ц=0 30 4}x_{1 + 5}x_{2 = 200}

_{20 B C}

_{10 A D} x_{2 = 10}

₀

10 20 30 40 50 x₁

Рис. 1. Графическое решение задачи оптимизации

График строим в следующей последовательности.

Вначале наносим линии (пунктирные прямые на рис. 1), уравнения которых заданы равенствами, получаемыми из соответствующих неравенств-ограничений:

8х₁ + 5х₂ = 320;

4х₁ + 5х₂ = 200;

х₁ = 15;

х₂ = 10.

Затем выделяем область допустимых решений системы неравенств:

8х₁ + 5х_{2 £} 320;

4х₁ + 5х_{2 £} 200;

х_{1 ³} 15;

х_{2 ³} 10.

Из неравенств и геометрических соображений ясно, что это область ограничена многоугольником ABCD, т.е. точки внутри и на границах этого многоугольника имеют координаты х₁ и х₂, смысл которых — число изделий 1 и 2 соответственно, удовлетворяющих ограничениям задачи.

Из теории линейного программирования следует, что задача имеет оптимальное решение на границах области допустимых решений, в данном случае в вершинах или на ребрах многоугольника ABCD. Можно рассчитать значения оптимизируемой (целевой) функции в вершинах многоугольника ABCD, а затем простым “перебором” найти оптимальный план производства. Координаты вершин находим решением соответствующих систем уравнений.

Так, для координат вершины А имеем непосредственно значения: х₁ = 15; х₂ = 10.

Для расчета координат вершины В необходимо решить систему уравнений:

х₁ = 15;

4х₁ + 5х₂ = 200.

Получаем координаты вершины В: х₁ = 15; х₂ = 28.

Для расчета координат вершины С необходимо решить систему уравнений:

4х₁ + 5х₂ = 200;

8х₁ + 5х₂ = 320.

Отсюда координаты вершины С: х₁ = 30; х₂ = 16.

Для расчета координат вершины D имеем систему уравнений:

8х₁ + 5х₂ = 320;

х₂ = 10.

Координаты вершины D: х₁ = 33,75; х₂ = 10.

Первые три вершины имеют целочисленные координаты и удовлетворяют смыслу задачи. Четвертая вершина имеет координату х₁ = 33,75, что не имеет физического смысла. Можно принять в качестве решения ближайшую точку, принадлежащую многоугольнику допустимых решений, с целочисленными координатами х₁ = 33; х₂ = 10. Результаты расчета значений целевой функции в вершинах многоугольника допустимых решений и близких к ним точках сводим в табл. 2.

Т а б л и ц а 2