7.Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

,  .

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

,

,

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить  .

Рисунок 4.1

,

.

Учитывая значение  ,  , , получим формулы для φ₀ и А_ампл. механической системы:

,

.

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график  . Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы   амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При  амплитуда колебаний становится бесконечно большой  .

8. Резонанс.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной  , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость   и называются амплитудными резонансными кривыми.

Рисунок 4.2 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

3. Используем данные об амплитуде и сдвиге фаз вынужденных колебаний для механической системы и выразим эти же характеристики для аналогичных величин электромагнитной системы (LCR– контур с включенным в его цепь внешним источником ЭДС, величина которой изменяется по гармоническому закону):

,

.

5. Сила тока при установившихся в контуре колебаниях равна:

,

где   - амплитуда силы тока, ψ₀ – сдвиг фаз между силой тока и внешнейЭДС в контуре. Амплитуда силы тока и ψ₀ находятся по формулам:

,

,   .

График зависимости   представлен на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3

Резонанс.

Резонанс в колебательном контуре - это физическое явление резкого возрастания амплитуды колебаний тока в контуре, если частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний в контуре. Оно используется в схемах настройки усилителей, радиоприемников, генераторов высокочастотных колебаний.

Вынужденные механические (электромагнитные) колебания – колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы (внешней периодически изменяющейся ЭДС).

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

.

Решение дифференциального уравнения для механических колебаний:

Резонанс – явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных колебаний системы.

Цепь, состоящую из последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 8, а), подключим к генератору переменного напряжения, позволяющему регулировать частоту колебаний (предполагается, что генератор напряжения обладает бесконечно малым внутренним сопротивлением и поэтому напряжение на его зажимах практически не зависит от нагрузки). На постоянном токе (нулевая частота) и очень низких частотах ток в цепи практически отсутствует, так как емкостное сопротивление конденсатора велико. Ток будет стремиться к нулю и на очень высоких частотах из-за возрастания индуктивного сопротивления катушки (см. графики на рис. 6,а).

Рис. 8

    Но есть одна характерная частота, на которой ток в цепи максимален и равен U/R. На этой частоте индуктивное сопротивление равно емкостному, а поскольку у них разные знаки, они компенсируют друг друга и полное сопротивление цепи оказывается активным и равным R. Эта частота называется резонансной, а график зависимости тока в цепи от частоты — резонансной кривой (рис. 8,б). Значение резонансной частоты можно найти, приравняв индуктивное и емкостное сопротивления:  _pL = 1/ _рС, следовательно,  _р² = 1/LC(резонансная частота). Не забывайте, что угловая, или круговая частота   в 2  или в 6,28 раза больше обычной, циклической частоты f, измеряемой в герцах, т.е.   = 2 f.