15. Волновое уравнение.

 

В 1863 г. Максвелл предсказал на основе полученных им уравнений электромагнетизма существование электромагнитных волн. Покажем, что в вакууме векторы поля удовлетворяют волновому уравнению. Напишем систему уравнений Максвелла:

,                                                                                                          (12.1)

.                                                                                                          (12.2)

,                                                                                                              (12.3)

.                                                                                                              (12.4)

Продифференцировав уравнение (12.1) по времени и заменив в полученном уравнении   из уравнения (12.2), получим:

.                                                                                                 (12.5) 

Пользуясь формулой векторного анализа   и принимая во внимание уравнение (12.3), получим:

  .                                                                                                    (12.6)

 Аналогичным образом, исключая   из уравнений (12.1) и (12.2), находим, что вектор   удовлетворяет волновому уравнению:

  ,                                                                                                    (12.7)

 где   – скорость волны. Уравнения (12.6) и (12.7) – это волновые уравнения для векторов   и   соответственно. Из того, что векторы   и   удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле, которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь тогда, когда их возбуждают.  Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но, возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет. Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих его зарядов. Из уравнений (12.6) и (12.7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в вакууме. Рассмотрим теперь решения волнового уравнения. Начнем с самого простого случая – пространственно одномерного волнового уравнения

  .                                                                                                  (12.8)

 Общее решение этого уравнения имеет вид

  ,                                                                                       (12.9)

 где   и   – произвольные функции, а аргументы этих функций представляют собой специальные комбинации переменных   и постоянной  . Смысл этих решений прост. Если в момент   графически изобразить функции   и  , то в последующие моменты времени эти функции смещаются вдоль оси   со скоростью   как целое:   – вправо, а   – влево.

Мы ограничимся в дальнейшем, так называемыми, гармоническими монохроматическими волнами, т. е. синусоидальными волнами с одной циклической частотой:  .

Гармоническая зависимость любой величины   от времени может быть представлена в общем виде так:

,

где   – значение рассматриваемой величины в точке с координатой   в начальный момент времени:  . Решение волнового уравнения (12.8), удовлетворяющее условию (12.9) и дающее гармоническую зависимость   от  , имеет вид 

.                                                                                                (12.10)

Фаза волны, т. е. ее состояние в данной точке пространства в данный момент времени, определяется выражением  . В данный момент времени поверхность равной фазы – волновой фронт – описывается уравнением:  . Это плоскость, нормальная к оси   и перпендикулярная направлению распространения волны. Поверхность равной фазы (волновой фронт) распространяется вправо с фазовой скоростью  .  Поскольку волновой фронт является плоскостью, мы получили плоскую волну. Нам понадобится еще выражение для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, характеризуемом постоянным единичным вектором  . Поскольку уравнение плоскости, перпендикулярной вектору  , имеет вид  , плоскую волну можно записать в виде

.                                                                                    (12.11)

 Введем волновой вектор  , определив его как

,                                                                                                         (12.12)

где   – единичный вектор в направлении распространения волны (в направлении  ). Тогда плоская волна может быть представлена в виде

.                                                                                                (12.13)

Вектор   называют волновым вектором потому, что он имеет непосредственное отношение к длине волны и всегда перпендикулярен фронту волны. Длиной волны, как известно, называется расстояние (отсчитанное в направлении движения волны) между двумя ближайшими точками волны, обладающими одинаковой фазой (в данный момент времени). Рассмотрим плоскую волну (12.11) и допустим, что фазы в точках   и   одинаковы. Тогда в любой момент времени должно соблюдаться равенство

.

Это может быть лишь в том случае, если  , т. е.

.

Для простоты будем рассматривать монохроматические плоские волны, однако результаты, которые мы получим, будут справедливы для любых плоских волн. Мы видели, что в однородной изотропной непроводящей среде векторы   и   изменяются в соответствии с волновыми уравнениями (12.6) и (12.7) при условии (12.12) т. е.  . Если представить пространственно-временное изменение векторов E и H в виде плоских волн:

 

,                                                                                   (12.14)

 

то эти выражения, безусловно, удовлетворяют уравнениям (12.7) и (12.6). Однако, чтобы они удовлетворяли уравнениям Максвел­ла, на них следует наложить еще дополнительные условия. Под­ставляя выражение (12.14) соответственно в (12.3) и (12.4), полу­чим:

,

.

Равенство нулю означает, что   и  . Кроме того, нетрудно установить, что   и   взаимно перпендикулярны. Чтобы убедиться в этом, подставим выражения (12.14) в левые части уравнений (12.1) и (12.2) и получим:

,

.

Тогда уравнения (12.1) и (12.2) примут вид

, или  ,                                                                                (12.15)

, или  .                                                                               (12.16)

Достаточно умножить  выражение (12.15) на    или выражение (12.16) на  , чтобы получить:

  .                                           (12.17)

Из полученных формул следует, что векторы  ,   и   взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов в том порядке, в котором они написаны. 

Вектор   определяет направление распространения волны. Векторы   и   колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению  .  Таким образом, электромагнитная волна в указан­ных условиях является поперечно-поляризованной (направление колебаний перпендикулярно направлению распространения). В силу линейности урав­нений Максвелла, или, что то же самое, в силу суперпозиции полей, решением является любая сумма полей, у которых векторы   и   лежат в указанной плоскости.

Отметим, что уравнения электромагнитной волны (12.14) записаны в комплексной форме. Обычный вид этих уравнений: E = E₀Sin(wt – kr), Н =Н₀Sin(wt – kr).