5.4.2. Вопросы к разделу 5.4

1. Дайте определение полного множества ВНО.

2. Какие существуют два способа построения матрицы независимости операторов.

3. Для чего в стеке отведены последние две ячейки?

4. В каких случаях осуществляется дизъюнкция очередных строк матрицы независимости?

5. Что является критерием формирования полного множества ВНО?

6. С какой целью может быть использован алгоритм 5.4.2?

Глава 6. Исследование информационных граф-схем со скалярными весами для планирования параллельных вычислений

6.1. Численные характеристики информационных граф-схем со скалярными весами

6.1.1 Определение ранних и поздних сроков окончания выполнения операторов.

При исследовании граф-схем алгоритмов одними из основных характеристик являются ранние и поздние сроки окончания выполнения операторов. Имея эти величины, можно построить планы выполнения операторов с учётом распределения операторов по ВМ. Необходимо подчеркнуть, что на основе граф-схемы алгоритма, можно определить:

1) Частичную упорядоченность выполнения алгоритма.

2) Веса операторов p_j, j = 1, …, m (обычно – времена выполнения процедур).

3) Началом отсчёта времени решения задачи является начало выполнения операторов, являющихся входами в алгоритм.

4) Т_к – это путь максимальной длины в граф-схеме ( это минимальное время, за которое может быть решена данная задача).

Определение 6.1.1. Ранний срок окончания выполнения оператора – это время на оси отсчёта времени, равное t_{1, j} = , j = 1 . . .m, где – время начала выполнения j-ого оператора, p_j – время выполнения j-ого оператора, полученное при минимальном времени решения задачи Т=Т_к.

Определение 6.1.2. Поздний срок окончания выполнения оператора – это время на оси отсчёта времени, равное t_{2, j}(Т) = , j = 1 . . .m, где – время начала выполнения j-ого оператора, полученное при времени решения задачи Т >Т_к , p_j – время выполнения j-ого оператора.

Так как величины t_{1, j} и t_{2, j}(Т) играют большое значение для дальнейших исследований, поэтому рассмотрим алгоритмы вычисления ранних и поздних сроков окончания выполнения операторов.

Алгоритм вычисления ранних сроков окончания выполнения операторов.

Алгоритм 6.1.1.

1. Вычислим t_1,j: =, где j :=1,…,RS. RS – размер матрицы следования

2. Просматриваются строки матрицы S сверху вниз, выбирается первая необработанная строка матрицы, и осуществляется переход к следующему шагу, если обработаны все строки, то - конец алгоритма.

3. Если выбрана j-я строка, не содержащая единичных элементов, то вычисляем t_1,j: = p_j , где p_j – вес j-го оператора и переходим на шаг 5.

4. Если j-я строка содержит единичные элементы, то вычисляется

t_1,j: = + p_j,

где max , берётся по множеству времён t_1,j , где j_q – номера элементов j-й строки, равных единице. Если в множестве есть нулевые элементы, то выполняется шаг 6, иначе выполняется шаг 5.

5. Обработанная j-я строка исключается из рассмотрения. Осуществляется переход на шаг 3.

6. Выбираем столбец j:=j_q и переходим на шаг 3.

Примечание: пункт 6 алгоритма 6.1.1 используется для нетреугольной матрицы S

Алгоритм вычисления поздних сроков окончания выполнения операторов.

Алгоритм 6.1.2.

1. Вычислим t_2,j: =0, где j :=1,…,RS. RS – размер матрицы следования.

2. Просматриваем столбцы матрицы S справа налево, выбираем первый необработанный столбец матрицы, переходим к следующему шагу. Если обработаны все столбцы, то - конец алгоритма.

3. Пусть j – номер выбранного необработанного столбца. Если он не содержит единичных элементов, то вычислим t_{2, j}(Т) := T, где Т – время решения задачи, переходим на шаг 5.

4. Если j-й столбец содержит единичные элементы, то вычисляется

t_{2, j}(Т): =min (Т)-p_j}, где (Т)– поздние сроки окончания выполнения операторов, содержащие единицы в j-м столбце. Если среди единичных элементов содержится хотя бы один элемент, имеющий (Т)=0, то переходим на шаг 6, иначе выполняется шаг 5.

5. Обработанный j-й столбец исключаем из рассмотрения, затем выполняется

шаг 2.

6. Выбираем столбец j:=j_q и переходим на шаг 3.

Примечание: пункт 6 алгоритма 6.1.2 используется для нетреугольной матрицы S.

Диаграммы выполнения операторов для ранних и поздних сроков – удобный способ наглядного представления многопроцессорной обработки. Структура ИГ, при отображении ранних или поздних сроков окончания выполнения операторов в виде диаграмм, порождает возможные способы распределения операторов по ВМ. Каждая строка (ветвь) диаграммы определяет множество операторов, которое целесообразно разместить на одном ВМ. Если в диаграмме имеется n строк, то целесообразно выбрать n ВМ для решения задачи, соответствующей данной диаграмме. Для такого способа планирования в случае обеспечения минимального времени решения задачи целесообразно использовать ранние сроки окончания выполнения операторов. Для обеспечения заданного времени решения задачи Т>Т_кр необходимо использовать поздние сроки окончания выполнения операторов.

Диаграмма размещения операторов на временной оси осуществляется по правилам, приведенным ниже.

Выполнение того или иного оператора отмечается прямоугольниками, имеющими длину, равную весам (времени выполнения) операторов, и правую границу, соответствующую срокам окончания выполнения операторов. Для возможности отображения частичной упорядоченности операторов используются совмещённые временные оси. Прямоугольники нумеруются в соответствии с номерами вершин исследуемого графа и между ними проводятся связи в виде стрелок, как показано на рисунках. Рассмотрим пример построения диаграмм выполнения операторов при Т=Т_кр (см. рисунок 6.1.1а) и Т>Т_кр (см. рисунок 6.1.1б). Рисунок 6.1.1а иллюстрирует ИГ, для которого вычисляются ранние и поздние сроки окончания выполнения операторов, рисунок 6.1.1б –матрицу следования этой граф-схемы.

Пример вычисления ранних сроков окончания выполнения операторов c помощью алгоритма 6.1.1 для граф-схемы, представленной на рисунке 6.1.1а.

t_1,1 = 1, t_1,2 = 2+1=3, t_1,3 =4+1=5, t_1,4 =3+3=6, t_1,5 =max{3, 5}+3=8, t_1,6 =1+5=6,

t_1,7 =2+6=8, =2+6=8, t_1,8 = 8+8 =16.

Пример вычисления поздних сроков окончания выполнения операторов c помощью алгоритма 6.1.2 для граф-схемы для Т=18.

t_2,8 (18)=18, t_2,7(18)=18, t_2,6(18)=18, t_2,5(18) =18-8=10, t_2,4(18)=18-2=16,

t_2,3(18)= min {18-1, 10-3}=7, t_2,2(18)= min {16-3, 10-3}=7, t_2,1(18)= min {7-4, 7-2}=3.

а) б)

Рисунок 6.1.1. Пример ИГ и его матрица следования, для которого вычислены ранние и поздние сроки окончания выполнения операторов

а)

2

4

6

7

3

2

1

б

1

3

5

8

1

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

б)

Рисунок 6.1.2. Временные диаграммы ранних (а) и поздних (б) сроков окончания выполнения операторов

Как следует из рисунка 6.1.2.а, эта диаграмма определяет минимальное время решения задачи, поэтому именно ей в дальнейшем будет уделено основное внимание, хотя в отдельных случаях может представлять интерес случай, когда Т>Т_кр. В этом случае возможно уменьшение требуемого количества ВМ. Вопрос об использовании временных диаграмм для планирования параллельных вычислений весьма интересен. Так, строка 1 на рисунке 6.1.2.а может интерпретироваться как нить для системы параллельного программирования Open MP и других систем программирования, у которых базовым понятием является «нить». Далее, в разделе «Планирование параллельных вычислений для информационных граф-схем», будет подробно рассмотрена эта проблема.