лекции, учебные пособия / учебное пособие компьютерные лабораторные работы по динамике. мельников в. г., иванов с.е., мельников г. и. / pri_meh_method_complabrabpodin

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

В. Г. Мельников, С. Е. Иванов, Г.И. Мельников

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИНАМИКЕ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2009

УДК 531 539.3

В.Г. Мельников, С.Е. Иванов, Г.И. Мельников, Компьютерные лабораторные работы по динамике, – СПб: СПбГУИТМО, 2009. – 74 с.

В пособии излагаются методические рекомендации к выполнению компьютерных лабораторных работ по динамике.

Пособие предназначено для студентов всех инженерных специальностей, изучающих курс «Прикладная механика».

СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007-2008 годы и успешно реализовал инновационную образовательную программу «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий», что позволило выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворять возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях науки. Реализация этой программы создала основу формирования программы дальнейшего развития вуза до 2015 года, включая внедрение современной модели образования.

©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2009 © В.Г. Мельников, С.Е. Иванов, Г.И. Мельников, 2009.

2

3

4

1. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Фазовый вектор системы

Под механической системой (МС) будем в основном подразумевать абсолютно твердое тело, или систему нескольких твердых тел, например – звеньев механизма. Приближенно упругие деформируемые тела также могут рассматриваться как конечномерные механические системы, подменяемые конечномерной системой по методу конечных элементов. В теории любая механическая система изображается в виде конечного или бесконечного множества материальных точек.

Механическая система называется голономной, если на ее положение, конфигурацию, наложены только геометрические ограничения - голономные связи.

Реакции голономных связей обеспечивают выполнение связей, они создают противодействие давлению механической системы на связи и возникают в той мере, в какой имеется давление. В технике роль голономных связей выполняют так называемые кинематические пары: шарниры, направляющие, подвесы, опоры, соединения, кроме того, в любом абсолютно твердом теле имеется бесчисленное множество голономных связей типа: расстояния между любыми точками тела постоянны, и обычно имеются конструктивные геометрические связи тела с другими телами и опорами.

Голономные связи разделяют на стационарные и нестационарные. Если связь изменяется с течением времени по заданному функциональному закону, содержащему явно параметр t, то она называется нестационарной, но если t не входит в функциональное уравнение, то связь называется стационарной. Пример нестационарной связи – опора, вибрирующая по известному функциональному гармоническому закону вида y = Acost . Не являются связями пружины, соединяющие звенья механизма между собой или с опорами. Пружины являются лишь источниками силы, но они не создают геометрических ограничений на положение объектов.

Голономной стационарной системой называется механическая система, подчиненная только стационарным связям. Если же имеется хотя бы одна нестационарная связь, то система называется голономной нестационарной.

Голономные связи налагают ограничения не только на конфигурацию, но и на скорости элементов системы. Голономная система как правило состоит из бесконечного множества точек с бесчисленным множеством связей. Тем не менее системы могут сохранять подвижность, иметь степени свободы.

Обобщенной координатой механической системы обычно называют любую выбранную декартову координату какой-либо точки системы или - угловую координату какого-либо звена системы. Обобщенных координат

5

может быть несколько, они отсчитываются как от неподвижных, так и подвижных тел. Декартовы координаты измеряются в метрах, угловые координаты в радианах. В теории обобщенные координаты принято обозначать символами q1, q2 ,..., qn .

Механическая голономная система называется одностепенной (имеющей одну степень свободы), если её положение полностью фиксируется одной выбираемой обобщенной координатой. На практике в качестве обобщенной координаты q принимают какую-либо направленную угловую координату ведущего или ведомого звена механизма, вводя переобозначение q= φ , или - декартову координату q=x или q=y какойлибо точки устройства. Например, вращающийся маховик является одностепенной системой с обобщенной координатой q=φ. Обобщённой скоростью одностепенной механической системы называют функцию

времени u = q& , равный производной по времени от обобщенной

координаты. Она измеряется в рад/c = c−1 или в другом случае - в м/с. Обобщенная скорость характеризует быстроту движения всего устройства.

Вектор-строка V =[q&, q] =[u, q] обобщенной скорости и обобщенной

координаты одностепенной механической системы называется фазовым вектором или вектором состояния механической системы, а элементы q&, q фазового вектора называются фазовыми координатами. Нередко

фазовый вектор записывают в форме вектор-столбца V ′=[u, q]T .

Если конфигурацию системы можно зафиксировать двумя обобщенными координатами q1,q2 , то механическая система называется двухстепенной,

подробнее — системой с двумя степенями свободы. Фазовый вектор-

Фазовый вектор-строка V голономной механической системы с n

размерности: часть - в м и м/c, часть - в рад и рад/c = c−1 . При этом часть координат отсчитываем непосредственно от осей ИСО (или ПСО), часть можно отсчитывать от подвижных звеньев, но требуется выполнение условия: количество координат должно быть минимальным, при этом их совокупность должна вполне определять положение механической системы в системе отсчета.

1.2. Кинетическая энергия твердого тела и голономной стационарной одностепенной системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Произвольная точка с номером i имеет некоторую массу mi и скорость vi ,

модуль которой есть vi.

6

Кинетической энергией (КЭ) системы материальных точек

называется скалярная величина, состоящая из неотрицательных кинетических энергий материальных точек. Она определяется формулой

Двойная кинетическая энергия поступательного движения твердого тела:

где m – масса тела,v - модуль скорости любого полюса, выбранного в теле.

Двойная КЭ вращательного движения тела вокруг неподвижной оси z, а также - сферического движения с подвижной мгновенной осью

вращения Oz и мгновенной угловой скоростью ω :

2T = Jzω2=miz2 ω2 (1.3)

где m — масса тела, Jz , iz — момент инерции и радиус инерции тела относительно оси вращения Oz или мгновенной оси вращения Oz при

сферическом движении тела. Единицы измерения: [Jz ] = кг м2 , [iz ] = м. Формула для пересчета радиуса инерции (и момента инерции) тела

относительно центральной оси Cz΄, проведенной через центр масс тела, на

Здесь Jω – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения Oω, проведенной через центр вращения вдоль вектора угловой скорости тела. В общем случае мгновенная ось меняет свое положение в теле, поэтому Jω есть переменная величина. Формула верна и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz , тогда Jω=Jz=const.

КЭ произвольного движения тела состоит из энергии поступательного движения вместе с центром масс и энергии вращения тела вокруг центра масс, наблюдаемого в поступательной системе отсчета, движущейся вместе с центром масс:

Здесь vС — модуль скорости центра масс тела, ω — угловая скорость тела, JCz, iCz — момент инерции и радиус инерции тела относительно оси Cz, проведенной через центр масс вдоль вектора ω. Но если за полюс принять не центр масс, а произвольный полюс O, то в выражении двойной КЭ следует добавлять третье слагаемое, содержащее удвоенное скалярное произведение скорости полюса vO и скорости vCO вращения центра масс

вокруг полюса:

7

Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий его звеньев T = ∑Ti .

КЭ одностепенной стационарной голономной системы, в частности

- одностепенного механизма с голономными стационарными связями,

в которой выделен в виде множителя квадрат обобщенной скорости, а другой множитель a (или делитель b) является функцией координат q: Эта форма достигается приведением подобных членов и вынесением за скобки квадрата обобщенной скорости. Коэффициент a(q) , называется в теории

приведенным (обобщенным) коэффициентом инерции механизма, b(q) можно назвать обратным коэффициентом инерции.

Коэффициент инерции a = 2T / q&2 во многих задачах получается

постоянным. Он называется также приведенной массой механизма mпр в случае, когда за обобщенную координату механизма принята какая-либо декартова координата и называется приведенным моментом инерции механизма Jпр в случае, если за обобщенную координату принят угол поворота ведущего (или ведомого) звена механизма.

КЭ нестационарной голономной одностепенной системы имеет

Размерность коэффициентов a, a0 ,a1 определяем по принципу Л.Эйлера: все слагаемые в выражениях должны иметь одинаковую размерность.

1.3. Мощность силы

Область пространства, в которой к материальному объекту приложена сила, называется векторным силовым полем. Эта область может быть трехмерной (например-шаровой), либо двумерной, либо представлять отрезок прямой или кривой линии. Обычно считают, что сила зависит только от координат (x, y, z) точки приложения силы, либо - от одной или двух координат, либо – постоянная по модулю и направлению. Допускаются также случаи, когда силы зависят и от скорости точки и от времени, т.е. сила задана в области пространства координат, скоростей, времени. Встречаются случаи, когда сила зависит от

Согласно данному определению мощность силы есть положительный скаляр, если угол между силой и скоростью острый (в

8

этом случае сила способствует движению, нарастанию кинетической энергии) и отрицательна, если угол тупой.(когда сила замедляет движение). Мощность силы равна нулю, если сила перпендикулярна к скорости точки приложения силы, или в случае, если точка приложения силы не имеет скорости.

Мощности в двух системах отсчета различны в случае, если системы движутся одна относительно другой, поэтому следует указывать систему отсчета, в которой вычисляется мощность сил.

Мощность сил трения, также как и других диссипативных сил, направленных против движения, отрицательна.

Мощность силы сцепления колеса с дорогой (если нет проскальзывания колеса) равна нулю, поскольку точка приложения силы не имеет скорости.

Рассмотрим случай, когда силы зависят только от положения точки приложения и мощность P = Xx& +Yy& + Zz& приводится к виду P =U& , где U (x, y, z) - функция положения точки приложения силы, т.е. – функция

пространства, в которой на тело действует потенциальная сила, называется

потенциальным силовым полем. Под знаком производной можно добавлять любую константу, поэтому силовая функция и потенциальная энергия определяется с точностью до константы, определяющей уровень отсчета. В общем случае, потенциальную энергию можно определить как функцию П(q1,..., qn ) , получаемую путем преобразования мощности к

виду: P = −П& (q1,..., qn ) , где qs – обобщенные координаты.

Пусть тело произвольно движется в пространстве, т.е. оно перемещается вместе с полюсом O со скоростью vO и вращается с угловой скоростью ω.

Мощность пары сил, приложенной к твердому телу, не зависит от скорости полюса. Она равна скалярному произведению момента пары сил и угловой скорости.

где M — момент пары сил, ω — угловая скорость твердого тела, которая, как известно, не зависит от выбора полюса. Мощность пары сил не зависит от места приложения её к телу. Мощность пары сил трения в подшипнике отрицательная, поскольку момент трения и угловая скорость вращения противонаправлены.

Мощность системы сил, приложенных к твердому телу, равна

скалярному произведению главного вектора R системы на скорость любого полюса тела, сложенному со скалярным произведением главного

момента M 0 сил относительно этого полюса на угловую скорости тела:

9

1.4. Работа и потенциальная энергия

Элементарной работой силы в выбранной системе координат Oxyz (неподвижной или подвижной) называется бесконечно малая величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение

Здесь через d΄A обозначена бесконечно малая работа, совершаемая силой за бесконечно малый интервал времени, dr - элементарное перемещение, сонаправленное со скоростью точки. Штрихом отмечено, что d΄A не всегда является полным дифференциалом от некоторой функции.

Произведение Pdt равно элементарной работе d΄A:

d΄A =Pdt , (1.15)

и наоборот, мощность равна отношению элементарной работы к элементарному времени:

Мощность, умноженная на малый интервал времени ∆t, есть приближенное значение работы ∆A переменной силы за этот интервал, мощность приближенно равна работе силы за 1 сек. Работой силы за конечный интервал времени [t1, t2] называется определенный интеграл от мощности по времени:

Для расчета работы по данной общей формуле необходимо знать мощность как функцию времени или силу и скорость в виде функций только времени t. Но в некоторых частных случаях (случай потенциальной силы, случай постоянной силы трения при неизменном направлении движения) возможно вычисление работы без применения кинематических уравнений движения точки приложения силы, достаточно знать только начальное и конечное положение точки.

Работа постоянной по величине и направлению силы F на прямолинейном векторе перемещения s , образующим с силой угол α.

Имеем работу на перемещении [0, s]:

A0s = F s = Fs cos(α) = FS s ,

где Fs — проекция силы на направление перемещения. Работа A0s положительна, если сила наклонена к перемещению, т.е. если проекция

F на s положительна. В случае F s работа равна нулю. В случае Fs < 0 работа отрицательна, т.е. на преодоление действия этой силы затрачивается кинетическая энергия или работа других сил.

Понятия мощность и работа, формулируется по отношению к конкретной системе отсчета, преимущественно – по отношению к ИСО или ПСО (инерционной или поступательной системам отсчета).

10