лекции, учебные пособия / учебное пособие компьютерные лабораторные работы по динамике. мельников в. г., иванов с.е., мельников г. и. / pri_meh_method_complabrabpodin

алгебраические скорости, т.е. проекции векторов относительных скоростей на орт e , вычисляемые по формулам:

где C1O иC2O - расстояния от соответствующих центров масс стержня и диска до точки O , ω =ϕ& - скалярная угловая скорость маятника, которая в

различные моменты времени может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Квадраты алгебраических скоростей центров масс находятся в

принять v , vC1 _ O , vC 2 _ O за модули соответствующих скоростей.

Моменты инерции однородного стержня и диска относительно их

центров масс равны соответственно

Подставляя выражения (1.15)и (1.12) в формулу (1.8), вычисляем кинетическую энергию маятника T2 .

31

Второй способ

Применяя общую формулу (1.1), принимая за полюс точку O подвеса маятника, получим двойную кинетическую энергию системы в виде.

2m22vvC 2 _ O cos(v, vC 2 _ O ),

где Joст и Joдиск - моменты инерции стержня и диска относительно точки O

закрепления маятника.

Подставим (1.11) и (1.13) в (1.16) и получим расчетную формулу для двойной кинетической энергии маятника

Кинетическая энергия механизма:

Кинетическая энергия всего механизма T находится по формуле (1.5) как сумма кинетических энергий всех его звеньев, т.е. как сумма кинетической энергии платформы и маятника.

2.3. Матрица инерции двухстепенного механизма

Положение механизма (рис.1.2.) фиксируется двумя обобщенными координатами: координатой x какой либо точки О платформы и угловой координатой маятника ϕ . Таким образом, механизм имеет две степени

свободы Кинетическая энергия любой стационарной голономной механической

системы с двумя степенями свободы, с двумя обобщенными координатами q1,q2 всегда приводится к виду трехчленной однородной квадратичной

формы относительно обобщенных скоростей q&1 и q&2 с постоянными или переменными коэффициентами:

так называемые приведенные коэффициенты инерции механизма, которые могут быть постоянными либо функциями от обобщенных координат q1 и

q2 . Коэффициент a12 может принимать как положительные, так и

отрицательные значения.

Требуется: Подставляя выражение (1.6),(1.7),(1.17) в формулу (1.5), выполняя приведение подобных членов, получить выражение вида (1.18) с конкретными выражениями трех коэффициентов a11,a22 ,a12 .

В обозначениях, принятых в работе, получаем выражение:

32

полученные в результате приведения подобных членов. В данной задаче a11 = const , a22 = const , a12 - функция угла ϕ .

Подставим в формулу (1.5) кинетической энергии механизма кинетические энергии его звеньев Т11,T12 ,T2 , (формулы (1.6), (1.7) и (1.8),

либо (1.16)), приведем подобные члены при квадратах обобщенных скоростей v2 , ω2 и при произведении обобщенных скоростей vω.

Симметрическая матрица инерции двухстепенной механической системы составленная из коэффициентов выражения однородной квадратичной формы (1.19) имеет вид:

где элементы матрицы a11,a22 ,a12 - приведенные коэффициенты инерции

механизма.

Нетрудно проверить, что двойная кинетическая энергия системы, представленная однородной квадратичной формулой (1.18) равна произведению трех матриц: вектора-строки обобщенных скоростей, симметрической матрицы инерции и вектора-столбца обобщенных скоростей.

В обозначениях, введенных для рассматриваемой механической системы имеем выражение, содержащее произведение трех матриц: вектор - строки обобщенных скоростей, инерционной матрицы и вектор - столбца обобщенных скоростей:

2.4. Операторы дифференцирования Лагранжа и обобщенные силы инерции для системы с двумя степенями свободы

Операторами дифференцирования Лагранжа называют последовательности математических действий, содержащие частные производные по обобщенным скоростям и обобщенным координатам и полные производные по времени, записываемые в форме:

33

Здесь q1,q2 - обобщенные координаты механической системы, q&1,q&2 -

обобщенные скорости системы,.

В данной изучаемой системе с двумя степенями свободы применяем к кинетической энергии два оператора Лагранжа:

Применим операторы дифференцирования Лагранжа к кинетической энергии T механической системы.

скоростям v и ω называются обобщенными импульсами и обозначаются p1 и p2 :

функциями переменных v,ω,ϕ. Они в свою очередь являются сложными

функциями времени через посредство обобщенных координат и обобщенных скоростей.

Обобщенными силами инерции двухстепенной механической системы называют две функции от обобщенных скоростей, ускорений и обобщенных координат, определяемых по формулам:

кинетической энергии (1.19) коэффициенты a11,a22 постоянны, а a12 = a12 (ϕ) ,при этом обозначим для краткости a = ∂∂aϕ12 .

34

(1.29)

Находим две обобщенные силы инерции механизма:

(1.30)

Матрицы строки этих величин находим путем сцепления в строку выражений (1.28),(1.29) и вынесением общих множителей:

(1.31)

3. Порядок выполнения работы.

Требуется: по данным виртуального эксперимента для конкретного момента времени определить фазовый вектор, кинетическую энергию звеньев и всего механизма, операторы Лагранжа, обобщенные силы инерции.

1.В соответствии с номером варианта и таблицей 1.1. задать значения параметров и начальные условия механической системы в соответствии с номером варианта. Значения

остальных параметров модели, не указанных в таблице необходимо оставить исходными. Получить графики x(t), ϕ(t), v(t) ,ω(t) .

2. По численным результатам моделирования (кнопка “Результаты” виртуальной лабораторной работы) найти численные значения элементов фазового вектора (матрицыстроки) V =[v,ω, x,ϕ] системы для заданного момента времени

t1 . Выписать фазовый вектор V . Изобразить механизм в состоянии, соответствующем значению фазового вектора.

3.Вычислить кинетическую энергию платформы T12 и колес T11

4.Найти и построить скорость центра масс стержня vc21 и скорость центра масс диска vc22 , как показано на рис. 1.3.

35

Вычислить кинетическую энергию T2 маятника по формулам

(1.8), (1.14), (1.15).

5.Найти кинетическую энергию маятника T2 по второму способу, по формуле (1.17).

6.Вычислить двойную кинетическую энергию 2T всей

механической системы. Найти коэффициенты инерции a11,a12 ,a22 и внести их в матрицу инерции А вида (1.20).

7.Применить операторы Лагранжа (1.24) к найденной кинетической энергии T (v,ω,ϕ) общего буквенного вида (1.18),

выписать выражения для коэффициента a = ∂a12 / ∂ϕ в формулах

(1.28),(1.29)

8.По числовым результатам моделирования (кнопка “Результаты” виртуальной лабораторной работы) найти приближенные

обобщенные силы инерции S1ин и S2ин вида (1.27), а также вектор-строки этих величин вида (1.31),(1.32)

4.Содержание отчёта

Вотчёт о проделанной лабораторной работе должны быть включены следующие разделы:

1.Номер варианта и исходные данные для расчёта.

2.Графики x(t), ϕ(t), v(t) ,ω(t) и числовые значения элементов

фазового вектора (матрицы-строки) V =[v,ω, x,ϕ] для заданного момента времени,

3.Значения кинетической энергии платформы с колесами и кинетическая энергия маятника T2 двумя способами.

4.Коэффициенты инерции a11,a12 ,a22 и матрица инерции А.

5.Операторы Лагранжа и приближенные значения обобщенных импульсов p1 и p2 и две обобщенные силы инерции S1u и S2u .

36

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ СИЛЫ МЕХАНИЗМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ И ДВУХ ОБОБЩЕННЫХ СИЛ МЕХАНИЗМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

В работе исследуется изменение обобщенных сил механических систем с одной и двумя степенями свободы, совершающих вынужденные колебания в условиях периодических возмущений.

Цель работы

Экспериментальное определение двух обобщенных сил механизма с несколькими степенями свободы по измерениям его кинематических параметров и известным действующим силам.

1.Математическая модель.

1.1.Механизм с одной степенью свободы

1.1.1. Описание механической системы

Рассмотрим установку, показанную на Рис.7, но при условии закрепления маятника ϕ ≡ 0, ω ≡ 0 . В этом случае голономная

стационарная система поступательно движется как одно абсолютно твердое тело, причем имеет только одну степень свободы. Направляющие колеса, установленные на платформе совершают плоское движение, состоящее из вращения вокруг их центральной оси и движения оси. Положение системы определяется одной координатой x , а быстрота совершаемых колебаний одной обобщенной скоростью - алгебраической скоростью v = x& .

Система состоит из верхней пружины жесткостью k1 , двигателя с эксцентриком радиусом r3 , поддерживающим движение платформы посредствам нижней пружины жесткостью k2 . Платформа состоит из груза массой m12 , который вместе с неподвижно зафиксированным на нем двухэлементным маятником общей массой (m21 + m22 ) совершает

поступательные колебательное движение по направляющей на трех роликах общей массой 3m11 , трением качения пренебрегаем. Коэффициент

вязкого трения в подшипнике, радиус инерции и радиус каждого из трех роликов платформы обозначены соответственно символами k5 , i1 , r1 .

Масса нижней пружины жесткостью k2 считается пренебрежимо малой.

38

Угловую скорость p = β& вращения эксцентрика можно регулировать. Электродвигатель с эксцентриком r3 рассматриваем только как источник внешнего периодического во времени возмущающего воздействия.

1.1.2. Мощность сил одностепенного механизма и обобщенная сила

В качестве обобщенной координаты и обобщенной скорости

β = pt .-заданная линейная функция времени

Рис. 2.1. Одностепенная система с зафиксированным маятником

К механизму приложены две упругие силы пружин F1,F2 , сила сопротивления демпфера F3 и пара сил вязкого трения с общим моментом трения M11тр , а также силы тяжести звеньев механизма.

Формульное представление приложенных сил:

39

подшипниках колес платформы, направленный перпендикулярно плоскости рисунка, противоположно вектору угловой скорости колес щ11 , где k4 - общий коэффициент

вязкого трения в трех подшипниках.

•F2 = −k3v i - сила вязкого трения в демпфере

•F(t) - упругая сила содержит возмущающую составляющую, зависящую от переменного угла pt . Пренебрегая малым

отклонением второй пружины от горизонтального положения, находим закон изменения силы F(t) = (−F0 sin( pt) − k2 x) i , при

F0 = k2r3

• 3G11,G12 ,G21,G22 силы тяжести, приложенные к центрам масс

трех колес, платформы, стержня и диска.

Обобщенная сила Q системы сил, приложенных к данному одностепенному механизму, Q находится путем деления мощности P(1) системы сил на обобщенную скорость: Q = P1 / v . Мощность приложенных сил состоит из Pпл(1) - мощности системы внешних сил, приложенных к платформе и Pм(1) - мощности сил тяжести маятника:

Они вычисляются по формулам

Pпл(1) = P3G11 + PF1 + PMтр + PG12 + PFтр + PF

Pм(1) = PG21 + PG22

Мощность каждой силы равна скалярному произведению силы и скорости. Мощность пары сил равна скалярному произведению момента пары сил и скорости соответствующего звена. Учитывая, что скорости всех точек системы при поступательном движении одинаковые, равные v, а также перпендикулярны к плоскости механизма получим

Например,

F1 vF1 =(−k1v)i (vi ) =−k1xvcos(i ,i ) =−k1xv

40