10.3 Некоторые элементы теории массового обслуживания
Напомним читателю, что теория массового обслуживания являющаяся одним из важных разделов прикладной математики, в соответствии с интересующими нас вопросами рассматривается как один из аппаратов для анализа и расчетов процессов, связанных с передачей, распределением и обработкой информации вычислительными системами и сетями. Конкретными задачами теории в данном случае является изучение явлений простоев, ожиданий, времени ответа и обслуживания. В связи с этими исходными посылками, применительно к предмету нашего внимани, системой массового обслуживания является любая вычислительная система, в которой поток задач, поступающих в нее, встречает ограничен-
ные ресурсы (например, число процессоров), способные их обработать.
В нашем же учебнике поставлена задача, лишь обратить внимание читателя на то, где можно найти ответы на вопросы, связанные с подробным анализом и описанием этих явлений, сопутствующих процессам функционирования средств вычислительной техники и информационных сетей. С этой целью мы проиллюстрировали некоторые базовые элементы названной теории, общий подход и приемы исследований – «технологию».
10.3.1 Уравнения равновесия
Теория и практика подтвердили, что существуют системы, в которых возможны переходы не только в ближайшие (соседние) состояния, но и в другие, находящиеся «на некотором удалении» от исходного состояния. При исследованиях и расчетах таких систем, как оказалось, также можно использовать свойства марковских цепей. Одним из таких свойств является условие равновесия общего эргодического непрерывного марковского процесса с дискретным множеством состояний.
Основная идея условия равновесия заключается в том, что интенсивность потока вероятностей, входящего в рассматриваемое сосояние, равна интенсивности потока вероятностей, исходящего из этого состояния.
«По-русски», это можно прокомментировать следующим образом. В процессе перехода системы из одного состояния в другое изменяются какие-то характеристики (параметры) системы, которые можно представить некоторым потоком, а сами изменения («мелькания событий») происходят с различными «скоростями» - интенсивностями. Все процессы происходят случайно с различными вероятностями, которые также можно интерпретировать потоком, характеризующимся той же интенсивностью, что и интенсивнось изменения характеристик (параметров).
Математически, в основу этого принципа Марков положил условие:
(10.16)
где p=[p0, p1, p2, …pk] – вероятности изменений состояний, а Q – матрица интенсивностей потоков между состояниями (интенсивностей переходов).
С
учетом дополнительного условия,
обозначаемого равенством
,
уравнение 10.16 и называют уравнением
равновесия системы.
Интенсивности переходов из рассматриваемого состояния в это же состояние или между двумя различными состояниями определяются по Маркову следующими выражениями:
;
,
где
- вероятность перехода процесса из
состояния
в состояние
за время
(из рассматриваемого состояния в это
же самое состояние) равна
.
Аналогично
- вероятность перехода процесса из
состояния
в
в течение промежутка времени
равна
.
Вы обратили внимание, на то, что величины
рассматриваются как бесконечно малые,
стремящиеся к нулю? Такие величины
называются инфинитезимальными в
абстрактномпредставлении «бесконечно
малыми». При этом суммарные интенсивности
переходов должны удовлетворять условию:
,
.
(10.17)
Чтобы нагляднее проиллюстрировать содержание условия равновесиия системы, мы воспользовались широко известным примером, имеющим место в многочисленных литературных источниках. В качестве примера в технической литературе рассматривается цепь Маркова с тремя состояниями, приведенная на рисунке 10.8.
На основании такого графа легко составить матрицу интенсивностей переходов:
S1 S2 S3
(10.18)
Теоретики считают, что для составления уравнений равновесия, чаще более подходящим является графическое представление системы, чем словесное, математическое или матричное.
По данному графу путем перебора состояний, направлений и интенсивностей перехо-
дов выписываем уравнения, характеризующие динамику системы с учетом того, что в каждом состоянии входящий поток должен равняться исходящему потоку. Получаем систему уравнений:
;
(10.19)
,
где
уравнения (10.18) соответствуют условиям
сохранения потока в состояниях
.
Последнее уравнение является суммой
первых двух. Утверждается, что для цепей
Маркова всегда получается точно одно
избыточное уравнение. Дополнительным
уравнением является нормирующее условие:
.
Решение системы уравнений имеет вид:
;
;
.
Таким образом, имеем выражения для вычисления количественных значений вероятностей переходов системы, из одного состояния в другое (не обязательно соседнее) в зависимости от интенсивностей потоков переходов между состояниями для выбранной нами конкретной схемы цепи.
10.3.2 Процессы размножения и гибели
Еще одним подходом при исследованиях поведения различных моделей систем массового обслуживания, к которым относятся и вычислительные системы, широко используется аппарат описания процессов в виде «размножения и гибели». Процесс размножения в вычислительной системе легко связывается с ситуацией последовательного поступления на обработку новых задач (загрузка в память системы новой программы для ее выполнения). Выгрузка только, что законченной программы, - это уход ее из системы – гибель в терминах теории массового обслуживания. При этом рассматривается достаточно многочисленная группа систем. Мы, для знакомства с этим аппаратом исследований, рассмотрим систему общего вида с дискретным пространством состояний и, пред-
ставляющим
больший интерес, непрерывным процессом
размножения и гибели (по сравнению с
дискретным). Поясним, что процесс
размножения и гибели был использован
как соответствующая модель для описания
изменений, происходящих в объеме
популяций (каких-то организмов), где
отмечалось, что процесс находится в
состоянии
,
если объем популяции равен
.
Далее переход из состояния
в состояние
соответствовал рождению (размножению),
а переход в
- гибели. Таким образом, рассматривались
изменения, переводящие процесс из
состояния
только в ближайшие
состояния.
Для лучшего понимания, обратите внимание
на рисунок 10.9 графа интенсивностей
переходов для процесса размножения и
гибели.
Процесс
характеризуется интенсивностью
размножения -
,
то есть скоростью, с которой происходит
размножение в популяции объема
и интенсивностью
гибели -
,
задающей скорость, с которой происходит
гибель в популяции объема
.
Следует заметить, что интенсивности
размножения и гибели не зависят от
времени,
а зависят только от состояния
.
Численные
значения
и
,
принимают соответственно равными:
и
.
Требование
о допустимости переходов в ближайшее
состояние означает, что популяция должна
быть больше 1, то есть
,
при
.
Более того,
,
что означает
.
При всех вышеперечисленных условиях
матрица интенсивностей переходов для
общего однородного процесса размножения
и гибели принимает вид:
Обратите внимание, что главная и соседние с ней диагонали имеют значения, все остальные элементы матрицы равны нулю.
Процесс является процессом размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {0, 1, 2, …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями и если выполняются следующие условия:
-
,
при точно 1-м рождении в промежутке
и объеме популяции равном
;
-
,
при точно 1-й гибели в промежутке
и объеме популяции равном
;
-
,
при отсутствии рождений в промежутке
в объеме популяции равном
;
-
,
при отсутствии гибелей в промежутке
времени
в объеме популяции равном
.
Согласно этим условиям кратные рождения, кратные гибели, одновременные рождения и одновременные гибели запрещены.
Задача заключается в определении вероятностей переходов. Не вдаваясь в подробности выкладок, отметим, что в результате некоторых, чисто математических преобразований, получают систему уравнений (уравнения Колмогорова) вида:
;
(10.19)
.
Решение
этой системы представляет собой
характеристику
и может быть, например, найдено при
условии
для всех
и
при всех
,
то есть для процесса чистого
размножения.
Решение
имеет конечный вид
(10.20)
Это есть ничто иное, как знаменитое распределение Пуассона, занимающее центральное место в теории массового обслуживания.
Граф интенсивностей переходов системы из одного состояния в другое, представленный в виде вытянутой цепочки на рисунке
10.9,
является другим способом описания
информации, содержащейся в матрице
.
В представленной на рисунке 10.9 цепочке состояний некоторой вычислительной системы, каждое из средних состояний (S1, S2, …, Sk-1, Sk, …) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний – правым и левым. А крайние состояния (S0, ..., Sn) - только с одним соседним состоянием. Такой граф называют графом для схемы гибели и размножения.
Пользуясь таким графом, составим и решим алгебраические уравнения для финальных (конечных) вероятностей состояний:
для первого узла
1)
(10.21)
Для второго узла
,
или
,
С
учетом (10.10) получим для второго узла
.
Из
соотношения 1) выразим
через
:
(10.22)
Из соотношения 2) с учетом (10.11) получим
.
(10.23)
Очевидно, для третьего узла
.
Рассуждая далее последовательно, по аналогии с предыдущими рассуждениями, можем записать:
или
