Линейно-мультипликативная модель тренда

Метод Муира [26]. Иногда можно считать, что изменение среднего значения показателя d_t (имеется в виду уравнение (1.1.)) зависит от времени не линейно, а пропорционально своему значению среднего (т.е. линейно в логарифмах). Тогда более подходящей будет мультипликативная модель, описываемая уравнением:

d_t = (d_t-1 – є_t-1)ρ + є_t,

где ρ – мультипликативный коэффициент тренда.

Теперь можно применить сглаживающую функцию u_t, обозначив ее через v_t:

v_t = d_t + (1 – α) r_t v_t-1 ,

где r_t – несмещенная оценка ρ (мультипликативный коэффициент тренда процесса d_t), которая вычисляется по формуле

r_t = + (1 – α) r_t-1 .

Прогноз на момент времени t + τ:

f_t+τ = v_t r_t^τ.

Следует отметить, что мультипликативные тренды сводятся к линейным заменой физических величин их логарифмами.

Комбинация линейных и сезонно-аддитивных моделей трендов

В прогностической модели учитывается сезонность посредством декомпозиции прогностических методов. При этом предполагается, что характеристики динамики показателя, а именно стационарность, линейность и сезонность, могут быть разделены, изучены и оценены изолированно один от другого. Окончательный прогноз будет осуществляться сведением прогнозов различных элементов в один.

При прогнозировании сезонного ряда необходимо определить, как изменение значения показателя в данный момент времени (на данный месяц) связано с изменением значения этой переменной, отстоящей на сезонный цикл (чаще всего равный одному году). А поскольку каждый момент времени принадлежит одному циклу, задача заключается в установлении формы сезонной зависимости; как правило, для решения этой задачи период наблюдения должен быть не менее четырёх лет. Сезонные колебания численно описываются коэффициентами сезонности.

Многие методы декомпозиции предполагают в какой-либо форме наличие линейного тренда, вследствие чего при построении прогноза учитывают связанный с этим линейный рост. Сезонный анализ данных без выделения и оценивания сезонного тренда привёл бы к смешению коэффициентов сезонности, т.е. к заметному отличию суммы этих коэффициентов за год от 12.

Сезонно-декомпозиционная прогностическая модель Холта-Винтера

Модель основана на применение метода экспоненциально взвешенного среднего значения F_t [13].

1. Оценка стационарного фактора (т.е. среднемесячного значения независимо от времени года) имеет вид:

u_t = + (1 – A)( u_t-1 + b_t-1).

При этом предполагается, что ряд текущих значений d_t “очищен” от сезонности делением его на F_t-/ (коэффициент сезонности), соответствующий моменту времени t – /, т.е. сдвинутому на / единиц времени назад.

2. Оценка линейного роста вычисляется на основе модели Холта:

b_t = B(u_t – u_t-1 ) + (1 – B) b_t-1 .

3. Оценка сезонного фактора. Коэффициент сезонности представляет собой отношение значения текущего наблюдения к среднестационарному значению, т.е. этот коэффициент в момент времени t равен d_t / u_t . Теперь можно определить экспоненциально взвешенное среднее текущего значения коэффициента сезонности:

F_t = C + (1 – C) F_t-/ , (1.3)

где С – постоянный коэффициент.