Контрольные вопросы и задания

1. Составить схему алгоритма решения нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам.

2. Составить схему алгоритма решения нелинейного уравнения методом Ньютона.

3. Составить схему алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций.

4. По какому принципу выбирается следующий отрезок уточнения в методе деления отрезка пополам?

5. По какому принципу выбирается начальное приближение при решении нелинейного уравнения методом Ньютона?

6. Привести нелинейное уравнение к каноническому виду, так, чтобы выполнялось условие сходимости при решении методом простых итераций.

7. Вывести условие сходимости при решении методом простых итераций.

8. Вывести формулу определения величины шага приближения при решении нелинейного уравнения методом Ньютона.

9. Дать сравнительную характеристику трех методов.

4. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, 3 схемы алгоритма, 3 листинга программ, распечатку результатов, анализ полученных результатов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианты 1.1.-1.5

Тело брошено под углом к горизонту  с начальной скоростью ₀ из положения с координатой y₀ (рис. 13). Изменение высоты тела y при падении описывается законом:

, (28)

дальность падения тела s_п вычисляется по формуле:

, (29)

скорость в конце полета можно рассчитать по формуле:

. (30)

В (28)-(30) g=9,81 – ускорение свободного падения, м/с²; t – время падения, с; y₀ – начальная координата, м; ₀ – начальная скорость, м/с;  – угол к горизонту, под которым брошено тело, …; s_п – дальность падения тела, м.

Рис. 13. Иллюстрация к вариантам 1.1.-1.5

1.1. Используя (28), найти время t, через которое тело упадет на землю. Исходные данные: =30, ₀=10 м/с, y₀=5 м, 0 t2 с.

1.2. Используя (28), найти угол к горизонту , под которым было брошено тело, если известно, что ₀=10 м/с, y₀=8 м, t=2 с, 0 рад.

1.3. Используя (29), найти угол к горизонту , под которым было брошено тело, если известно, что ₀=10 м/с, S_п=5 м, t=2 с, 0 рад.

1.4. По формуле (30) найти начальную скорость брошенного тела ₀, если известно, что =/3, _п=10 м/с, t=1 c, 0₀20 м/с.

1.5. По формуле (30) найти угол к горизонту , под которым было брошено тело, если известно, что ₀=10 м/с, _п=14 м/с, t=1,6 c, 0 рад.

Варианты 1.6.-1.8

Б русок массы m находится на наклонной плоскости с углом наклона  (рис. 14). На него воздействует сила F. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость k. Брусок находится в состоянии покоя, если выполняется следующее условие:

. (31)

В (31) g=9,81 – ускорение свободного падения, м/с²;  – угол наклона, …; k – коэффициент трения бруска о наклонную плоскость; m – массы бруска, кг; F – сила воздействия, Н.

Рис. 14. Иллюстрация к вариантам 1.6.-1.8

1.6. Рассчитать силу воздействия F, при которой брусок остается в покое с учетом, что угол наклона плоскости =30. Исходные данные: k=0,2, m=1 кг, g=9,81 м/с², 0 F 20 Н.

1.7. Рассчитать коэффициент трения k бруска о наклонную плоскость, при котором брусок остается в покое с учетом, что =/6, m=1 кг, g=9,81 м/с², F=3,3 Н, 0 k2.

1.8. Рассчитать массу бруска m, при котором брусок остается в покое, если известно, что =/6 , k=0,2, g=9,81 м/с², F=3,32 Н, 0m2 кг.

Варианты 1.9.-1.11

Тело совершает гармонические затухающие колебания. Амплитуда колебаний А. Смещение тела описывается законом:

, (32)

, , , (33)

где А₀ –начальная амплитуда колебаний, м; ₀ – начальная фаза колебаний, …; T – период колебаний, с;  – коэффициент затухания; r – коэффициент трения; m – масса тела, кг; _зат – циклическая частота затухающих колебаний, с^-1; ,₀ – собственная частота свободных незатухающих колебаний, с^-1;t – время, с; x – величина смещения точки, м.

1.9. Определить момент времени t_п, когда тело в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия. Исходные данные: T=15 с, А₀=10 м, ₀=30, r=0,2, m=5 кг, 0 t 10 с, =3,14 рад.

1.10. Определить коэффициент затухания  , если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда тело в первый раз вернулась в положение равновесия прошло 6,7 с. Исходные данные: T=15 с, А₀=10 м, ₀=/6, =3,14 рад, 00,3.

1.11. Рассчитать массу тела m, если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда точка в первый раз вернулась в положение равновесия прошло 6,67 с. Исходные данные: T=15 с, А₀=10 м, ₀=/6, r=0,2, =3,14 рад, 2 m 6 кг.

Вариант 2.1

Точка совершает гармонические колебания с периодом T. Амплитуда колебаний А. Смещение точки описывается законом:

, (34)

где ₀ – начальная фаза колебаний, …; t – время, с, T – период колебаний, с; А – амплитуда колебаний, м; x – величина смещения точки, м. Определить момент времени t_п, когда точка в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия. Исходные данные: T=2 с, А=0,1 м, ₀=60, 0 t 10 с, =3,14 рад.

Варианты 2.2.-2.4

Тело, расположенное на горизонтальной плоскости и присоединенное к пружине (рис. 15), совершает гармонические колебания. Трение о поверхность равно нулю. Смещение тела описывается законом:

, , (35)

г де А – амплитуда колебаний, м; ₀ – начальная фаза колебаний, …;  – частота колебаний,с^-1; k – жесткость пружины; m – масса тела, кг; t – время, с; x – величина смещения точки, м.

Рис. 15. Иллюстрация к вариантам 2.2.-2.4

2.2. Определить момент времени t_п, когда тело в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия (точка О). Исходные данные: А=0,5 м, ₀=0, k=0,09 Н/м², m=1 кг, 0  t 15 с, =3,14 рад.

2.3. Рассчитать жесткость пружины k, если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда тело в первый раз вернулась в положение равновесия прошло 5 с. Исходные данные: А=1,5 м, ₀=60, m=0,85 кг, =3,14 рад, 0k0,2.

2.4. Рассчитать массу тела, если известно, что с момента начала колебаний до момента, когда тело в первый раз вернулась в положение равновесия, прошло 15 с. Исходные данные: А=0,3 м, ₀=30, k=0,075 Н/м², =3,14 рад, 0m5 кг.

Вариант 2.5

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой

, (36)

результирующее колебание описывается законом:

, , (37)

, (38)

, (39)

где А₁, А₂, А – амплитуды составляющих и результирующего колебаний, м; ₁, ₂,  – начальные фазы составляющих и результирующего колебаний, , T – период колебаний, с;  – частота колебаний, с^-1; t – время, с; x – величина смещения точки, м.

Определить момент времени t_п, когда тело в первый раз с момента начала колебаний вернется в положение равновесия. Исходные данные: А₁=3 м, А₂=1 м, ₁=30, ₂=60, T=10 с, 0t3 с, =3,14 рад.

Варианты 2.6.-2.9

Изменение заряда на обкладках конденсатора, входящего в состав колебательного контура (рис. 16), подчиняется закону:

, (40)

, , (41)

г де q₀ – амплитудное значение заряда в момент времени t=0, Кл; ₀ – начальная фаза колебаний, …;  – коэффициент затухания, _зат – циклическая частота свободных затухающих колебаний, с^-1; R – электрическое сопротивление контура, Ом; L – индуктивность контура, Гн; С – емкость конденсатора, Ф; t – время, с.

Рис. 16. Иллюстрация к вариантам 2.6.-2.9

2.6. Определить момент времени t_п, когда заряд на обкладках конденсатора равен нулю. Исходные данные: R=1 Ом, L=0,1 Гн, С=4010^-6 Ф, ₀=60, q₀=510^-6 Кл, 0 t 0,007 с, =3,14 рад.

2.7. Рассчитать индуктивность колебательного контура L, если известно, что полный разряд конденсатора происходит за время равное 0,05 с. Исходные данные: R=0,5 Ом, , С=2010^-6 Ф, ₀=60, q₀=1,510^-6 Кл, =3,14 рад, 0,3L0,5 Гн.

2.8. Рассчитать сопротивление колебательного контура R, если известно, что полный разряд конденсатора происходит за время равное 0,0042 с. Исходные данные: L=0,25 Гн, С=0,410^-6 Ф, ₀=60, q₀=2,5 Кл, =3,14 рад, 750R2000 Ом.

2.9. Рассчитать емкость колебательного контура C, если известно, что полный разряд конденсатора происходит за время равное 0,5 с. Исходные данные: R=0,5 Ом, L=0,25 Гн, ₀=30, q₀=0,510^-6 Кл, =3,14 рад, 3010^-6С3110^-6 Ф.

Варианты 2.10.-2.12

На спокойную воду спущен корабль с нулевой вертикальной скоростью. Если пренебречь силами, обусловленными вязкостью воды, свободные вертикальные колебания корабля в спокойной воде описываются законом:

, (42)

где M – масса корабля,  – плотность воды, S – площадь горизонтальной проекции корабля, g – ускорение свободного падения, t – время.

2.10. Определить момент времени t_п, когда корабль достигает своего первоначального положения. Исходные данные: M=500 т, =1 т/м³, S=250 м², g=9,81 м/с², 0 t 1,5 с, =3,14 рад.

2.11. Определить массу корабля M, если известно, что корабль достигает своего первоначального положения за 10 с. Исходные данные: =1,03 т/м³, S=500 м², g=9,81 м/с², =3,14 рад, 400M500 т.

2.12. Определить площадь горизонтальной проекции корабля S, если известно, что корабль достигает своего первоначального положения за 20 с. Исходные данные: =1 т/м³, M=500 т, g=9,81 м/с², =3,14 рад, 200S300 м².

Варианты 3.1.-3.4

Тело массы m находится на наклонной плоскости, составляющей угол с вертикалью  (рис. 17). К телу прикреплена пружина, жесткость которой С. Пружина параллельна наклонной плоскости. В начальный момент времени телу сообщается скорость ₀, направленная вниз по наклонной плоскости. Если начало координат взять в положении статического равновесия, уравнение движения тела запишется:

, , (43)

где g – ускорение свободного падения, м/с²; t – время, с; m – масса тела, кг; С – жесткость пружины;  – угол плоскости с вертикалью, …; ₀ – начальная скорость тела, м/с; x – величина смещения точки, м.

Рис. 17. Иллюстрация к вариантам 3.1.-3.4

3.1. Найти моменты времени t, когда тело возвращается в начальное положение. Исходные данные: С=0,09 Н/м², m=1.5 кг, ₀=0,3 м/с, g=9,81 м/с², =45, 0 t 18 с, =3,14 рад.

3.2. Рассчитать жесткость пружины С, если известно что тело возвращается в начальное состояние за 6,37 с. Исходные данные: m=1,5 кг, ₀=0,3 м/с, g=9,81 м/с², =45, =3,14 рад, 0,02С0,5 Н/м².

3.3. Рассчитать массу тела m, если известно что тело возвращается в начальное состояние за 6,37 с. Исходные данные:, С=0,09 Н/м² ₀=0,3 м/с, g=9,81 м/с², =45, =3,14 рад, 0,5 m 3 кг.

3.4. Рассчитать угол , если известно что тело возвращается в начальное состояние за 6,37 с. Исходные данные: m=1,5 кг, С=0,09 Н/м², ₀=0,3 м/с, g=9,81 м/с², =3,14 рад, 0,2 рад.

Вариант 3.5

На гладкой поверхности, наклоненной к горизонту под углом , находится прикрепленный к пружине груз (рис. 18). Статическое удлинение пружины равно f. В начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3 f, и груз отпущен без начальной скорости. Колебания груза в этом случае могут быть описаны законом:

, (44)

где g – ускорение свободного падения, м/с²; t – время, с; f – статическое удлинение пружины, м;  – угол наклона плоскости к горизонту, …; x – величина смещения точки, м.

Рис. 18. Иллюстрация к варианту 3.5.

Найти момент времени t_п, когда груз возвращается в начальное положение. Исходные данные: f=0,5 м, g=9,81 м/с², =60, 0 t  с, =3,14 рад.

Вариант 3.6

На два вращающиеся в противоположные стороны цилиндрические шкива одинакового радиуса свободно наложен однородный стержень (рис. 19). Центры шкивов находятся на горизонтальной прямой О₁О₂. Расстояние О₁О₂=2l. Стержень приводится в движение силами трения, развивающимися в точках касания его со шкивами. Эти силы пропорциональны давлению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен f. При сдвиге стержня из положения симметрии на x₀ при начальной скорости ₀=0 уравнение движения стержня:

, (45)

г де g – ускорение свободного падения, м/с²; t – время, с; x – величина смещения точки, м; f – коэффициент пропорциональности; x₀ – начальный сдвиг стержня из положения симметрии, м.

Рис. 19. Иллюстрация к варианту 3.6

Найти моменты времени t, когда стержень пройдет положение симметрии. Исходные данные: f=0,252, g=9,81 м/с², l=0,25 м, x₀=0,1 м, 0 t  с, =3,14 рад.

Варианты 3.7-3.8

Имеется шнур (рис. 20), закрепленный с одного конца и приводимый в колебания с другого (точка О). Колебания произвольной точки М, отстоящей на расстоянии х от незакрепленного конца шнура длиной l, описывается уравнением плоской стоячей волны:

, (46)

, , (47)

где А – амплитуда колебаний, м;  – дополнительное отставание по фазе, которое может возникать при отражении, ;  –частота колебаний, с^-1; T – период колебаний, с;  – скорость распространения волны, м/с; t – время, с; l – длина шнура, м.

Р ис. 20. Иллюстрация к вариантам 3.7.-3.8

3.7. Определить момент времени t_п, когда точка М занимает начальное положение. Исходные данные: А=0,3 м, =30, =2100 м/с, l=5 м, х=2 м, T=2 с, 0t 0,1 с, =3,14 рад.

3.8. Рассчитать скорость распространения волны , если известно, что точка М заняла первоначальное положение через с. Исходные данные: А=0,3 м, =30, l=5 м, х=2 м, T=2 с, =3,14 рад, 10003200 м/с.

Варианты 3.9. - 3.11

Брусок массы m находится на наклонной плоскости с углом наклона  (рис. 21). На него воздействует сила F. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость k. Брусок находится в состоянии равномерного прямолинейного движения, если выполняется следующее условие:

. (48)

В (48) g=9,81 – ускорение свободного падения, м/с²;  – угол наклона, …; k – коэффициент трения бруска о наклонную плоскость; m – массы бруска, кг; F – сила воздействия, Н.

Р ис. 21. Иллюстрация к вариантам 3.9.-3.11

3.9. Определить какова должна быть сила воздействия F, чтобы брусок оставался в состоянии равномерного прямолинейного движения при угле наклона плоскости =30. Исходные данные: k=0,3, m=2 кг, g=9,81 м/с², 0 F 30 Н.

3.10. Рассчитать коэффициент трения k бруска о наклонную плоскость, при котором брусок остается в состоянии равномерного прямолинейного движения при угле наклона плоскости =30 с учетом, что m=2 кг, g=9,81 м/с², F=20,82 Н, 0,01 k 1,5.

3.11. Рассчитать массу бруска m, при котором брусок остается в состоянии равномерного прямолинейного движения, если известно, что =30, k=0,3, g=9,81 м/с², F=20,82 Н, 0,01 m 4 кг.