2. Порядок выполнения работы
Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.
Получить у преподавателя номер варианта.
В соответствии с пунктом 1:
- осуществить приближенную оценку корней заданного нелинейного уравнения, для чего построить график y=f(x) и найти область пересечения [a, b] графика функции с осью абсцисс (наиболее просто построить график в среде MathCAD);
произвести уточнение корней, представив математическую формулировку решения нелинейного уравнения по трем методам, составив схемы алгоритмов решения и написав программы в среде СИ++ или MathCAD.
Отладить программы и получить результаты расчетов.
Провести анализ полученных результатов.
3. Краткие теоретические сведения
Уравнением называется равенство с переменной, которое в общем виде записывается в виде
f(x)=0. (1) Значение переменной х=х*, обращающее уравнение в тождество f(x*)=0 называется корнем уравнения.
Решить уравнение означает найти все его корни. Уравнение, вид которого не позволяет получить формулу для расчета точного значения корня, решается приближенно, например, x=cos(x) (получить систематическое решение невозможно).
Задача приближенного решения уравнения (1) заключается в исследовании функции
y=f(x) (2) c целью поиска такой точки х* на оси, в которой значение функции обращается в нуль, т.е. y*=f(x*)=0.
Численные методы решения складываются из 2-х этапов.
Отделение корней, т.е. нахождение такого интервала [a, b] в котором существует единственный корень. Таких интервалов может быть найдено столько, сколько существует действительных корней у решаемого уравнения.
Уточнение корня, т.е. нахождение его значения внутри интервала [a, b] с заданной степенью точности.
Отделение корней
Существует несколько методов отделения корней: аналитический, графический, графоаналитический. Чаще всего на практике пользуются комбинацией графического и аналитического методов.
Для уравнения f(x) приблизительно строится график. Отделяют интервал [a, b] предположительно содержащий корень, а затем функция в этом интервале исследуется на выполнение 3-х условий:
функция в интервале [a, b] должна быть непрерывна;
монотонна на [a, b], т.е. первая производная не меняет свой знак на этом интервале;
на конце интервала функция f(x) меняет знак.
Если эти условия выполняются, то интервал [a, b] содержит действительный корень и, причем единственный.
Например, требуется отделить корень уравнения
f(x)=sin(2x)-ln(x). (3)
Для этого удобно построить графики функций sin(2x) и ln(x) (рис. 1а), а затем на оси OX отметить отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения рассматриваемых кривых. Из графиков следует, что уравнение имеет корень, принадлежащий отрезку 1;1,5. В другом варианте – построить график функции f(x)=sin(2x)-ln(x). Пересечение графика с осью 0Х – определяет местонахождение корня (рис. 1б).
а) б)
Рис. 1. Графический способ отделения корней сложной функции