Зачатки проективной геометрии
Жерар Дезарг — архитектор в Лионе, автор книги о перспективе (1636 г.). Его брошюра "Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью" (1639 г.) содержит некоторые из основных понятий синтетической геометрии: точки на бесконечности, инволюции, полярные соотношения, "Теорема Дезарга" о перспективном отображении треугольников опубликована в 1648 г. Плодотворность этих идей была раскрыта лишь в XIX в.
Общий метод интегрирования и дифференцирования (с упоминанием того, что каждый процесс - обратный к другому) мог быть открыт только на базе одновременного овладения как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта-Валлиса.
Это было сделано независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем. Ньютон первым открыл анализ (1665-1666 гг.), но Лейбниц (1673-1676 гг.) первым опубликовал результаты (1684-1686 гг.), Ньютон 1704 - 1736 (посмертно).
Исаак Ньютон
Исаак Ньютон (1642-1727) - сын землевладельца в Линкольншире. Учился в Кембридже, в 1669 г. Исаак Барроу открыто признал превосходство Ньютона и передал ему профессорскую кафедру. Ньютон оставался в Кембридже до 1696 г., когда занял пост инспектора, а позже — начальника монетного двора.
Основная работа "Математические принципы натуральной философии" (1687 г.) — огромный том, содержащий аксиоматическое построение механики и закон тяготения. Строго математически выведены законы Кеплера движения планет (полученные Кеплером эмпирически), дано динамическое объяснение приливов и т.д. Решение задачи о притяжении сфер заложило основы теории потенциала.
Свой анализ Ньютон называл теорией флюксий. При изучении бесконечных рядов по "Арифметике" Валлиса Ньютон обобщил биномиальную теорему на случай дробных и отрицательных показателей и открыл биномиальный ряд. Это позволило ему распространить теорию флюксий, как на алгебраические, так и на трансцендентные функции. Переменные у Ньютона назывались "флюэнтами" и обозначались (v,x,y,z)
буквами, производные (которые Ньютон считал скоростями), обозначались буквой с точкой (над буквой: х,у,...). Бесконечно малые именуются
"моментами флюксий" и обозначаются: vo,xo,уо,..., где о - бесконечно малое количество.
"Начала" Ньютона содержат понятие предела, но в виде затруднительном для применения.
Ньютон писал также о канонических сечениях и о плоских кривых третьего порядка, Ньютону принадлежит метод получения приближенных значений корней численных уравнений (разъяснил на примере уравнения х3-2х-5 = 0, х« 2,09455147).
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) родился в Лейпциге, большую часть жизни провел при ганноверском дворе, на службе у герцогов (один из которых стал английским королем - Георгом Т). Кроме философии, он занимался историей, теологией, лингвистикой, биологией, геологией, математикой, дипломатией и "искусством изобретения". Одним из первых (после Паскаля) изобрел счетную машину, пришел к идее парового двигателя. Интересовался китайской философией, содействовал объединению Германии. Основной движущейся пружиной его жизни были поиски всеобщего метода для овладения наукой и понимания сущности единства вселенной.
Его поиски "всеобщей характеристики" привели его к занятиям перестановками, сочетаниями и к символической логике; поиски "всеобщего языка" привели не только к символической логике, но и ко многим новшествам в математических обозначениях.
Лейбниц нашел свое новое исчисление между 1673 и 1676 гг. р©# влиянием Гюйгенса, в ходе изучения Декарта и Паскаля (Лейбниц знал, что Ньютон уже обладал подобным методом). Если подход Ньютона был кинематическим, то подход Лейбница - геометрическим; он мыслил в терминах "характеристического треугольника" (dx,dy,ds), который уже появлялся у Паскаля и Барроу.
Впервые анализ в форме Лейбница был изложен им в 1684 г. в шестистраничной статье математического журнала "Acta Eruditorum". Название статьи: "Новый метод для максимумов и минимумов, а также для
касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого".
Изложение было трудным, но статья содержала символы dx,dy,
правила дифференцирования (например: d{uv) = udv + vdu) и дифференцирование дроби, условие dy = 0 для экстремальных значений и d2у = 0 для точек перегиба.
В 1686 г. вышла его статья с правилами интегрального исчисления и с символом J.
После 1687 г. к Лейбницу присоединились братья Якоб (I) (1654-1705) и Иоганн (I) (1667-1748) Бернулли. Еще до 1700 г. они втроем открыли значительную часть нашего основного курса анализа и несколько важных разделов в более сложных областях, включая решение некоторых задач вариационного исчисления.
В 1696 г. появился первый учебник по анализу. Автор маркиз Лопиталь, ученик Иоганна Бернулли, опубликовавший лекции своего учителя по дифференцированию в книге "Анализ бесконечно малых" (здесь приведено "правило Лопиталя"), Лейбницу принадлежат термины: "функция", "координаты", знак "-", названия "дифференциальное" и "интегральное исчисления".