Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Могилевский государственный университет продовольствия»

Кафедра физики

Определение длины свободного пробега газовых молекул

Методические указания

к выполнению лабораторной работы №12 по разделу «Молекулярная физика и термодинамика» курса физики для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения

Могилев 2011

УДК 532.516

Рассмотрены и рекомендованы к изданию

на заседании кафедры физики

Протокол №9 от 12.05.2011

Составитель

кандидат физ.-мат. наук, доцент

А.С. Скапцов

Рецензент

доктор физ.-мат.наук, профессор

В.А. Юревич

УДК 532.516

©Учреждение образования

«Могилевский государственный

университет продовольствия», 2011

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12.

Определение длины свободного пробега газовых молекул

Цель работы: определение длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы азота (который составляет 78,1% воздуха) по коэффициенту внутреннего трения (вязкости).

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндрический сосуд с капилляром, дополнительный капилляр, секундомер, стеклянный стаканчик, весы, разновесы, термометр, барометр.

Краткая теория

Заметное отклонение молекул от прямолинейных траекторий при тепловом движении происходит только при их достаточном сближении. Такое взаимодействие между молекулами называется столкновением. Процесс столкновения молекул удобно характеризовать величиной эффективного диаметра молекулы. Под ним понимается минимальное расстояние, на которое могут сблизиться центры молекул при их столкновении.

Расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега молекулы. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как число молекул газа достаточно велико и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о некоторой средней длине свободного пробега молекул. Именно эта величина традиционно определяется для газов.

Средняя длина свободного пробега молекул газа может быть рассчитана по формуле:

, (1)

где ‑ средняя арифметическая скорость движения газовых молекул; ‑ среднее число соударений, испытываемых одной молекулой за время 1 с.

Для определения представим молекулу газа в виде шарика диаметром d, которая движется среди других молекул газа, находящихся в состоянии покоя.

Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях равных или меньших d, т.е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (см. рис.1). Число столкновений за время 1 с равно числу молекул, находящихся в объеме «ломаного» цилиндра:

(2)

где n – концентрация молекул; V ‑ объем, который за время равное 1 с занимает молекула газа ( ). Таким образом, число столкновений можно оценить по формуле:

. (3)

Если учесть, что все молекулы газа находятся в состоянии хаотического движения, то для среднего числа столкновений формула (3) примет вид:

. (4)

Среднее число столкновений для большинства газов при нормальных условиях составляет от 10⁹ до 10¹⁰ с^-1.

Подставляя выражение (4) в (1), находим среднюю длину свободного пробега молекул:

. (5)

В молекулярно-кинетической теории идеальных газов получены формулы, в которых макроскопические параметры газа (давление, объем, температура) связаны с его микропараметрами (размером молекулы, ее массой, скоростью). Пользуясь этими формулами и выполнив измерения давления и температуры, можно оценить размер молекул и их среднюю длину свободного пробега.

Согласно молекулярно-кинетической теории вязкость газа связана со средней длиной свободного пробега молекулы соотношением

, (6)

где  ‑ коэффициент динамической вязкости; _г ‑ плотность газа.

Из формулы (6) находим

. (7)

Средняя арифметическая скорость молекул описывается формулой, полученной из закона распределения молекул идеального газа по скоростям (закон Максвелла):

, (8)

где R – универсальная газовая постоянная; Т ‑ абсолютная температура; М ‑ молярная масса воздуха.

Рассмотрим движение газа по каналу кругового сечения (капилляру). При малых скоростях потока течение газа является ламинарным (слоистым). В этом случае скорость уменьшается по мере удаления от оси канала к стенкам по параболическому закону. С увеличением скорости потока характер течения меняется, постепенно переходя из ламинарного ‑ в турбулентное, при котором происходит перемешивание слоев газа. При турбулентном течении скорость газа в каждой точке пространства быстро меняет и величину и направление, а сохраняется только средняя величина скорости.

Характер течения газа в канале (ламинарный или турбулентный) определяется безразмерным параметром, который носит название число Рейнольдса:

, (9)

где U ‑ средняя скорость потока; r ‑ радиус канала.

В гладких каналах круглого сечения (трубах) переход от ламинарного к турбулентному течению происходит приблизительно при числах Рейнольдса Re>2300.

При установившемся течении объемный расход газа в канале Q (объем газа, проходящего через поперечное сечение за единицу времени) определяется формулой Пуазейля:

, (10)

где V_г – объем газа; l – длина канала; ‑ разность давлений на концах канала.

При выводе и использовании формулы Пуазейля действуют определенные ограничения, заключающиеся в следующем:

1 Течение газа в канале должно быть ламинарным (число Рейнольдса Re<2300);

2 Газ является несжимаемым;

3 Формула Пуазейля справедлива для участков канала, на которых параболический профиль скорости газа по сечению не меняется при движении вдоль потока, т.е. течение считается установившимся.

В момент попадания газа в цилиндрический канал скорости слоев одинаковы по всему сечению (см. участок А, рис.2).

П о мере продвижения газа по каналу картина распределения скорости меняется (см. участки B, C и D, рис.2), так как сила трения о стенку тормозит прилежащий к ней слой. Характерное для ламинарного течения параболическое распределение скорости устанавливается на некотором расстоянии L₀ от входа в канал, которое зависит от радиуса канала r и числа Рейнольдса следующим образом:

. (11)

Коэффициент динамической вязкости газа можно определить, воспользовавшись формулой Пуазейля (10)

. (12)

Подставив выражения (8) и (12) в формулу (7) и выполнив преобразования, получаем

. (13)

Эффективный диаметр молекулы можно вычислить из формулы (5), выражающей его связь с длиной свободного пробега:

. (14)

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа , для того чтобы определить концентрацию молекул n при данных условиях:

. (15)

Здесь р ‑ атмосферное давление, k ‑ постоянная Больцмана.

Подставив (15) в (14), получаем выражение для расчета эффективного диаметра молекул газа (воздуха)

. (16)

Для вычисления длины свободного пробега по формуле (13) необходимо знать радиус и длину канала (капилляра), через который протекает газ, перепад давлений на его концах, а также температуру воздуха и объем газа, прошедшего через капилляр за определенное время.

Для вычисления эффективного диаметра молекул воздуха по формуле (16) следует измерить температуру и давление окружающей среды и рассчитать на основе экспериментальных данных среднюю длину свободного пробега молекул.