2.Основні властивості означеного інтеграла.

При викладі основних властивостей означеного інтеграла будемо розглядати лише неперервні, а отже, і, що інтегруються на відрізку функції. Крім цього, при поясненні геометричного змісту різних властивостей будемо припускати, що розглянуті функції ненегативні.

1. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто якщо А= const, то

. (17).

Приклад 20. Обчислити .

2. Означений інтеграл від алгебраїчної суми двох неперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі всіх інтегралів, тобто

(18).

Приклад 21. Обчислити

3. Якщо а < c<b, то

(19).

Площа криволінійної трапеції aABb дорівнює сумі площ трапецій aACc і сCBb (мал.4)

Якщо функція f(x) не від’ємна на відрізку , де a<b, то

(20).

Тому що при будь-якій розбивці відрізка на відрізки і будь-який вибір точок ,I=1, 2,…, і >0, то і

Але тоді і

4. Якщо для усіх , де a<b, то

(21).

Відповідно до умови . Тоді по властивості 4

Застосовуючи властивість 2, маємо

чи

Помітимо, що Насправді у цьому випадку f(x)=1, отже,

Приклади обчислення означеного інтеграла

1. Безпосереднє інтегрування

а) = = ( - +7 ∙2) – ( +7(-1))=( --6+14) – (- - -7)= - 6 +14 + + +7=3-6+21+ =18+ =19,5.

б) =2arcsin x │= 2 (arcsin 1 - arcsin ) = 2( ) = .

в) │=

г) │= tg .

д) │= =

2. Метод підстановки.

а) = │ = │= │=3( = 3.

б) = 2 │= │=-1+2=1.

в) = = │= = .

г) │=1

д) │=

e) = = .

ж) = │= - ( =

=

3. Інтегрування по частинам.

-

a) =

б) =

в)

г)

Практичне заняття.

Застосування визначених інтегралів.

(Обчислення площ плоских фігур, обчислення об’ємів тіл.)

План вивчення теми

1. Приклади обчислення площ плоских фігур.

2. Обчислення об’єму тіла по відомих площах його поперечних переріз.

1. Об’єм тіла, одержаного в результаті обертання навколо осі ОХ криволінійної трапеції, яка обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку [а;в] .

2. Розв’язування прикладів.

Домашнє завдання:[3] гл1; §1-3 [2] §1 с. 8-28; [4] с. 506-526,

При обчисленні площ плоских фігур із застосуванням визначеного інтеграла розглянемо наступні випадки.

1. Фігура обмежена графіком неперервної і ненегативний на відрізку [a; b] (a<b) функції f(x), віссю Ох і прямими x=a і x=b.

У цьому випадку відповідно до геометричного змісту визначеного інтеграла площа S чисельно дорівнює , тобто

S = . (1)

П риклад 1. Обчислити площа фігури, обмеженої лініями

∆ Застосувавши формулу (1), знайдемо

▲

2 . Фігура обмежена графіком неперервна і ненегативний на відрізку [a; b] функції f(x), віссю Ох і прямими x=a і x=b. (мал. 2)

Розглянемо функцію - f(x). Фігура a₁B₁b симетрична фігурі aABb щодо осі Ох (.мал. 2), а отже, їхньої площі S₁ і S рівні. Але

тому (2)

П риклад 2. Обчислити площа фігури, обмеженої лініями y = - x² - 1, y = 0, x = -1, x = 2 (мал.3).

∆ По формулі (2) знаходимо

. ▲

3. Фігура обмежена віссю Ох, прямими x = a і x = b і графіком функції f(x), що безупинна на відрізку [a; b] і. змінює свій знак кінцеве число раз на цьому відрізку (мал. 4).

У цьому випадку розбивають відрізок [a; b] на такі часткові відрізки, на яких функція f(x) знакопостійна (на мал.4 мається три таких відрізки: [a; з], [з; d], [d; b]). Очевидно, що шукана площа S чисельно дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів, узятих по кожному з отриманих відрізків, причому знаки, з якими ці інтеграли входять в алгебраїчну суму, збігаються зі знаками функції f(x) на відповідних відрізках.

Т ак, наприклад, площа фігури, зображеної на мал. 4, обчислюється по формулі

П риклад 3. Обчислити площа фігури, обмеженої лініями y = sin x, y = 0, x = - ?/2, x = ? (мал 5).

∆ Очевидно, что sinx   для всех x ;  і sinx  0 для всех x ; . Тому

. ▲

4 .Фігура обмежена графіками двох неперервних на відрізку функцій і прямими х = а, х = у, де (мал.6).У цьому випадку шукана площа S обчислюється по формулі.

Приклад 4.Обчислити площа фігури, обмеженої лініями

(мал. 7)

∆ Межі інтегрування a і b знаходимо із системи рівнянь

Звідси тобто відкіля й Отже, . Тому що на відрізку -3; 6 для маємо , то по формулі (3) знаходимо

. ▲