1.2 Основні властивості невизначеного інтеграла.

Нехай функція F(x) є первісної для функції f(x) на деякому проміжку Х, тобто F’ (x) = f (x).

Тоді по визначенню

. (5).

Безпосередньо з рівностей (1) і (5) випливають властивості:

1). Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

( )’ = (F (x) + C)’ = F’ (x) = f (x).

2.) Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному вираженню.

d ’dx = f(x)dx.

3.) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції плюс довільна постійна.

'(x)dx = .

Властивості (1) і (2) використовують звичайно для перевірки результатів інтегрування.

Приклад 3. Перевірити, ли знайдений інтеграл

.

Одержали підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдений правильно.

Властивість (3) застосовують безпосередньо в процесі інтегрування.

Приклад 4. Знайти .

Маємо

.

Доведемо ще дві властивості невизначеного інтеграла, що значно розширюють можливості інтегрування.

4.) Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто якщо а = const 0, то

. (6).

.

Поклавши С = С , знайдемо

.

Приклад 5. Знайти .

Застосувавши властивість (4), знаходимо

5.) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох безупинних функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій окремо, тобто

(7).

Справді, нехай F’(x) = f(x) і G’(x) = g(x).

Тоді

і.

Тому

де С = С.

Відзначимо, що ця властивість справедлива для будь-якого кінцевого числа безупинних функцій, що складаються.

Приклад 6. Знайти .

Маємо

Приклад 7. Знайти .

Застосувавши властивості (4) і (5) і табличні інтеграли 1 і 5, знаходимо

Приклад 8. Знайти .

Маємо

.

2. Методи інтегрування.

1. Безпосереднє інтегрування. Під безпосереднім інтегруванням розуміють такий спосіб інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції і застосування властивостей невизначеного інтеграла приводиться до одному чи декільком табличним інтегралам.

Приклад 9.

.

Розділивши чисельник на знаменник, одержимо

Приклад 10. Знайти .

Перетворимо підінтегральну функцію в такий спосіб:

.

Застосувавши табличний інтеграл 1, одержимо

.

Приклад 11. Знайти .

Використовуємо властивість 5) та 4):

5

Приклад 12. Знайти .

Приведемо його до табличного інтеграла 15:

= =

Приклад 13. Знайти .

,

де С.

2. Інтегрування методом заміни перемінної (методом підстановки).

Обчислити заданий інтеграл безпосереднім інтегруванням удається далеко не завжди, а іноді це зв'язано з великими труднощами. У цих випадках застосовують метод чи підстановки заміни перемінної інтегрування.

Сутність цього методу полягає в тім, що шляхом уведення нової перемінної інтегрування вдається звести заданий інтеграл до нового інтеграла, що порівняно легко береться безпосередньо.

Розглянемо цей метод.

Нехай f(x) – безупинна функція і потрібно знайти , причому безпосередньо важко підібрати таку функцію F(x), щоб F’(x) = f(x) чи

. (8).

Зробимо заміну перемінної інтегрування х по формулі

, (9).

де функція монотонна, має безупинну похідну й існує складна функція (а отже існує і .

Застосувавши до формулу диференціювання складної функції, одержимо

. Але , тому

. (10).

Таким чином, функція є первісної для функції , і тому

. (11).

З огляду на, що , з (8) і (11) випливає формула заміни зміною в невизначеному інтегралі

. (12).

Формально формула (12) виходить заміною х на , тобто f(x) на і dx на .

В отриманому послу інтегрування по формулі (12) результаті варто перейти знову до перемінного х. Для цього досить знайти функцію . Це завжди можливо, тому що по припущенню функція монотонна.

Приклад 14. Знайти .

Зробимо підстановку х = 2t, тоді dx = 2dt. Отже,

.

Зауваження 2. У практиці інтегрування часто застосовуються підстановки виду , тобто нова змінна інтегрування вводиться як деяка функція змінної х.

Приклад 15. Знайти .

Зробимо підстановку 3х – 5 = t. Знайдемо диференціал від обох частин підстановки: 3dx = dt, відкіля . Отже,

.

Замінивши t його вираженням з підстановки, одержимо

.

Приклад 16. Знайти .

Покладемо 1 + 2sin x = t, тоді 2cos x dx = dt, чи cos x dx= . Отже,

.

Приклад 17. Знайти .

Покладемо x - 2 = t, тоді 3x dx = dt, чи x dx = dt. Отже,

.

Приклад 18. Знайти .

2.3. Інтегрування частинами. Нехай функції u = u(x) і v = v(x) мають

неперервні похідні на деякому проміжку Х. Знайдемо диференціал добутку цих функцій:

d(uv) = u’vdx+ uv’dx.

Тому що за умовою функції u’v і uv’ безупинні, можна проінтегрувати обидві частини цієї рівності,

,

чи

.

Але , отже,

. (13.)

У правій частині формули (13) сталу інтегрування С не пишуть, тому що вона фактично присутня в інтегралі . Формула (13) називається формулою інтегрування частинами.

Сутність методу інтегрування частинами цілком відповідає його назві. При обчисленні інтеграла цим методом підінтегральний вираз f(x)dx зображується у виді добутку множників u і dv; при цьому dx обов'язково входить у dv.

У результаті виходить, що заданий інтеграл знаходять частинами: спочатку знаходять , а потім .

Цей метод застосуємо лише у випадку, якщо задача перебування зазначених двох інтегралів більш просте, ніж перебування заданого інтеграла.

Приклад 19. Знайти .

Покладемо u = x, dv = sin2xdx, тоді

du = dx, v = .

По формулі (13) знаходимо

.

При обчисленні інтегралів методом інтегрування частинами головним є розумна розбивка підінтегрального виразу на множники u і dv.

Інтегрування раціональних дробів.

1.

;

2.

3.

4)

5.

6.

Лекція3. Визначений інтеграл. Основні властивості. Формула Ньютона – Лейбніца. Методи обчислення означених інтегралів.

План вивчення теми

1. Означення криволінійної трапеції.

2. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

3. Означення визначеного інтеграла.

4. Формула Ньютона – Лейбніца.

5. Приклади обчислення визначених інтегралів.

Домашнє завдання:[3] гл1; §1-3 [2] §1 с. 8-28; [4] с. 506-526, індивідуальні завдання (30 варіантів)

Означений інтеграл і його властивості.