Лекція№1,2 Первісна, невизначений інтеграл, основні властивості. Таблиця інтегралів. Методи інтегрування. План вивчення теми

1. Задачі, що приводять до поняття первісної.

2. Означення первісної., основна властивість первісної.

3. Приклади обчислення первісних.

4. Невизначений інтеграл, його властивості.

5. Приклади обчислення невизначених інтегралів.

Домашнє завдання:[3] гл1; §1-3 [2] §1 с. 8-28; [4] с. 506-526, індивідуальні завдання (32 варіанта)

1. Первісна, основні властивості.

Основна задача диференціального обчислення полягає в наступному: дана функція F(x), потрібно знайти її похідну. При цьому якщо похідна існує в кожній точці х деякого проміжку Х, то це є функція f(x) на Х така, що f(x)= F’(x).

Однак часто потрібно вирішувати і зворотну задачу: дана функція f(x), потрібно знайти функцію F(x) таку, що

F’ (x) = f (x). (1).

Для розв’язання зворотної задачі служить операція інтегрування, зворотна операції диференціювання.

Диференційована функція F(x), визначена на деякому проміжку Х, називається первісною для функції f(x), визначеної на цьому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку F’(x) = f(x), що теж саме,

dF (x) = f (x) dx. (2).

Приклад 1. Знайти яку-небудь первісну для функції f(x) = 3x .

Функція F(x) = x є первісною для f(x) = 3x , тому що

F’ (x) = (x )’ = 3x = f (x).

Неважко помітити, що первісна х не є єдиною для функції 3х . Справді, у якості первісної можна було взяти і функції: (х +5),( х - 2) і взагалі х + С, де С – це довільна стала, тому що (х + С)’= 3х .

Приводимо формулювання теореми, що виражає основну властивість первісних.

Якщо функція F(x) є первісна для функції f(x) на деякому проміжку Х, то функція

F (x) + С, (3).

де С - довільна стала, також є первісної для f(x) на тім же проміжку, причому будь яка інша первісна Ф(х) функції f(x) на цьому проміжку може бути записана у виді

Ф (х) = F(x) + C. (4).

Визначення 2. Сукупність усіх первісних для функції f(x), визначених на деякому проміжку Х, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається символом f(x) dx (читається: « інтеграл від еф від ікс де ікс»).

Якщо F(x) є первісної для функції f(x) на проміжку Х, то відповідно до визначення 2 маємо

.

Функція f(x) називається підінтегральною функцією, f(x)dx – підінтегральним вираженням, х – перемінної інтегрування, символ - знаком невизначеного інтеграла, С – постійної інтегрування.

Приклад 2.

З найти .

Тому що х = (х /6)’, то функція F(x) = x /6 є однієї з первісних для функції f(x) = x . Тому .

Визначення 4. Назвемо графік який-небудь первісний y = F(x) функції f(x) інтегральної кривої.

Геометрично невизначений інтеграл являє собою сімейство інтегральних кривих, кожна з який виходить з будь якої іншої кривої рівнобіжним переносом уздовж осі Оу (мал.1).

Якщо функція f(x) безупинна на деякому проміжку Х, то на цьому проміжку існує первісна функції f(x), а отже, і невизначений інтеграл .