Свойства определителей
Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число.
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.
Пример.
,
но
Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.
При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:
.При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.
при
.
Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:
,
- матрицы
-го
порядка, тогда
.
Замечание.
Из свойства 10 следует, что даже если
,
то
.
Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1-10, чтобы преобразованная матрица имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а затем найти определитель разложением по этой строке (столбцу).
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка
Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме одного обращались в нуль. Для этого умножим, например, элементы третьего столбца на (-4) и прибавим их к первому столбцу:
Далее умножим элементы третьего столбца на 2 и прибавим их ко второму столбцу, далее применим к полученному определителю четвертого порядка теорему Лапласа:
Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника или используя теорему Лапласа, но можно продолжить упрощение матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы второй строки (кроме одного). Для этого умножим элементы третьего столбца на (-13) и на 4 и прибавим соответственно к первому и второму столбцам:
при вычислении определителя второго порядка используем свойство определителя: за знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца (вынесем из первого столбца число 8, а из второго столбца число 18):
