Вариант I

1. а. Исследовать и решить систему уравнений:

б. Найти фундаментальную систему решений:

с. Решить матричное уравнение:

2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

3. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

4. а. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство, натянутого на векторы: .

б. Найти матрицу линейного преобразования (в базисе, в котором заданы координаты всех векторов), переводящего векторы , в векторы соответственно:

5. Найти расстояние от вектора до подпространства, натянутого на систему векторов

.

6. 1. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и написать этот канонический вид.

2. Определить форму, размеры и расположение поверхностей заданных уравнениями:

Вариант II

1. А. Исследовать и решить систему уравнений:

б. Найти фундаментальную систему решений:

с. Решить матричное уравнение:

2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

3. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

4. а. Ортогонализовать и дополнить до ортонормированного базис , , .

б. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего векторы , , соответственно в векторы , , .

5. Найти угол между вектором и подпространством, натянутым на векторы и .

6. 1. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. Выписать канонический вид формы.

2. Определить вид, размеры и расположение поверхностей заданных уравнениями:

Вариант III

1. а. Исследовать и решить систему уравнений:

б. Найти фундаментальную систему решений:

с. Решить матричное уравнение:

2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

3. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

4. а. Ортогонализовать и дополнить до ортонормированного базис , , .

б. Найти матрицу линейного преобразования (в базисе, в котором заданы координаты всех векторов), переводящего векторы в векторы соответственно:

5. Найти угол между вектором и подпространством, натянутым на векторы и .

6. 1. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. Выписать канонический вид формы.

2. Определить вид, размеры и расположение поверхностей заданных уравнениями:

Вариант IV

1. а. Исследовать и решить систему уравнений:

б. Найти фундаментальную систему решений:

с. Решить матричное уравнение:

2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

3. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

4. а. Ортогонализовать и дополнить до ортогонального базис , , .

б. Найти матрицу линейного преобразования (в базисе, в котором заданы координаты всех векторов), переводящего векторы в векторы соответственно:

5. Найти угол между вектором и подпространством, натянутым на векторы и .

6. 1. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. Выписать канонический вид формы.

2. Определить вид, размеры и расположение поверхностей заданных уравнениями: