6.) Основные понятия векторной алгебры (скалярные и векторные величины, нулевой, единичный вектор, орт, коллинеарность, компланарность векторов.

Скалярная величина – это величина, для задания которой необходимо указать её числовое значение: (масса, объём, ширина).

Векторная величина – величина, для задания которой необходимо указать, её числовое значение и направление в пространстве: (скорость, сила, ускорение). Для абстрактного обозначения векторных величин, служат векторы:

Вектор – направленный отрезок прямой, с начальной т.А и с конечной т.В или упорядоченная пара точек A и B.

Нулевой (или нуль) вектор – вектор, у которого начальная точка совпадает с конечной точкой. (длина равна 0, направление неопределенно).

Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице(1). (существует бесчисленное множество единичных вектор.

Орт – единичный вектор, сонаправленный с данным вектором а. (орт вектор и вектор а, лежат на одной прямой или на параллельных прямых).

Два ненулевых вектора, называются коллинеарными, если их можно поместить на одну прямую.

Нуль вектор коллинеарен любому другому ненулевому вектору.

Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Компланарные векторы всегда можно переместить в одну плоскость.

Если хотя бы один из трёх векторов нулевой или любые два коллинеарны, то такие три вектора компланарны.

7.) Линейные операции над векторами и их св-ва.

7.1 Операция составления суммы векторов называется их сложением.

Суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало первого вектора, с концом последнего, если данные векторы расположены так что, конец предыдущего является началом последующего ( по цепочке).

Сложение двух векторов по определению, называется правилом треугольника.

Св-ва сложения векторов:

1.a+b=b+a

2.a+(b+c)=(a+b)+c

3.a+0=a

4.a+(-a)=0

Из определения суммы векторов и св-тв сложения, следует специальные правила сложения двух и трёх ненулевых векторов, отнесённых общему началу.

Правила параллелограмма. Суммой двух ненулевых векторов имеющих общее начало, есть вектор выходящий из общего начала и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на сложенных векторах как на сторонах.

Правила параллелепипеда. Суммой трёх ненулевых векторов, имеющих общее начало, есть вектор, выходящий из общего начала и совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, как на рёбрах.

7.2 Умножение вектора на скаляр.

Произведением ненулевого вектора а на скаляр ,\ не(=) 0, называется новый вектор у которого:

1.длина = |,\|*|a|

2.направление совпадает с вектором а, если ,\ >0 и противоположно вектору a, если ,\ < 0.

Св-ва умножения векторов:

1. , \1 * (,\2 * a) = (,\1 * ,\2) * a

2. ,\1 * (a + b) = ,\1 * a + ,\2 * b

3. (,\1+,\2) *a = ,\1 * a + ,\2 * a

4. a*(-1) = -a

5. если ,\ = 0, то ,\ * a = 0 для любых допустимых а.

6. если a = 0, то ,\ * a = 0 для любых допустимых ,\.

7.3 Вычитание векторов.

Вычитание векторов рассматривается как действие обратное сложению.

Разностью двух векторов a и b называется третий вектор с, такой что будучий сложенный с вектором b, даёт вектор a., т.е. a – b = c  b+c = a.

Правила нахождения разности векторов:

1.) Чтобы построить разность двух векторов, выходящих из общего начала, достаточно соединить конец вектора вычитаемого, с концом вектора уменьшаемого.

2.) Чтобы построить разность двух векторов а и в, можно к вектору а, прибавить вектор, противоположный вектору в.

Т.е. a – b = a + (-b).

Последнее правило, чаще всего используется при нахождении алгебраической суммы векторов.

Следствия из линейных операций векторов:

1.) Каждый ненулевой вектор, может быть выражен, через свой орт и наоборот. ( a = a’ * |a|, a’ = (1/ |a|) * a);

2.) Если ненулевые векторы а и в коллинеарны, то один из них всегда можно выразить через другой. ( а = ,\1 * b или b = ,\2 * a.

3.) Любой ненулевой вектор R, может быть единственным образом, разложен по двум некаллинеарным а и в , если все эти три вектора компланарны.

4.) Любой ненулевой вектор R, может быть единственным образом, разложен по трём некомпланарным векторам a, b и с. R = n * a + m * b + p * c. где хотя бы одно из чисел n, m, p –отлично от нуля.