12 Скфу Ляхов в. Ф. Лекции по учебной дисциплине «Информатика»

Лекция 13. Основы теории алгоритмов

Вопросы лекции:

13.1 Понятие алгоритма.

13.2 Формализация понятия алгоритма посредством машины Поста.

13.3 Формализация понятия алгоритма посредством машины Тьюринга.

Литература: Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. – 3-е изд. – М.: «Вильямс», 2006. – 720 с.

В основе работы любого механизма или устройства, будь то двигатель внутреннего сгорания, сложная компьютерная система или биологический механизм организма человека, лежит определенная и преследующая некоторую цель последовательность действий. Такая последовательность действий получила название «алгоритм». Настоящая лекция посвящена описанию того, каким образом можно составить и представить на компьютере те или иные алгоритмы, какие задачи можно решать при помощи алгоритмов определенного типа.

13.1 Понятие алгоритма

Во всех сферах своей деятельности, в частности в сфере обработки информации, человек сталкивается с различными способами или методиками решения разнообразных задач. Они определяют порядок выполнения действий для получения желаемого результата – мы можем трактовать это как первоначальное или интуитивное определение алгоритма.

Термин алгоритм происходит от имени средневекового узбекского математика Аль-Хорезми, который еще в 825 году описал правила выполнения четырех арифметических действий в десятичной системе счисления. Процесс их выполнения и был назван алгоризмом.

Впоследствии вместо слова алгоризм стали употреблять латинизированное слово алгорисмус, смысл которого состоял в комбинировании четырех операций арифметического исчисления: сложения, вычитания, умножения и деления. Затем алгоритмус преобразовался в алгорифм. Смысл этого понятия чаще всего связывался с алгорифмами Евклида – описаниями процессов нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных числе, наибольшей общей меры двух отрезков и т. п.

Под алгоритмом же понимали конечную последовательность точно сформулированных правил, которые позволяют решать различные классы задач. Такое определение алгоритма не является строго математическим, так как в нем не содержится точной характеристики того, что следует понимать под классами задач и под правилами их решения. Таким образом, можно нестрого определить алгоритм как однозначно трактуемую процедуру решения задачи.

Алгоритм – это система однозначных инструкций (указаний), которая определяет последовательность действий над выбранными объектами с целью получения результата за конечное число шагов.

Дополнительные требования о выполнении алгоритма за конечное время для любых входных данных приводят к еще одному неформальному определению алгоритма.

Алгоритм – это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых и точно определимых элементарных операций для решения задачи.

Пусть DZ – область (множество) исходных данных задачи Z, а R – множество возможных результатов, тогда мы можем говорить, что алгоритм осуществляет отображение DZ  R.

Поскольку такое отображение может быть не полным, в теории алгоритмов вводятся понятия частичного и полного алгоритма. Алгоритм называется частичным, если мы получаем результат только для некоторых значений d, принадлежащих DZ, и полным, если алгоритм получает правильный результат для всех значений d принадлежащих DZ.

Сегодня отсутствует одно исчерпывающе строгое определение понятия «алгоритм». Из разнообразных вариантов словесного определения наиболее удачные, видимо, принадлежат российским ученым А. Н. Колмогорову и А. А. Маркову.

Алгоритм (по Колмогорову) – это система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи.

Алгоритм (по Маркову) – это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.

Алгоритмы можно подразделить на два класса: численные и логические.

Численные алгоритмы – это алгоритмы, в соответствии с которыми решение задач сводится к арифметическим действиям.

Логические алгоритмы – это алгоритмы, в соответствии с которыми решение задач сводится к логическим действиям.

Несмотря на различие в определениях, к алгоритмам предъявляется ряд общих требований. Итак, алгоритм должен:

• содержать конечное количество элементарно выполнимых предписаний, то есть удовлетворять требованию конечности записи;

• выполнять конечное количество шагов при решении задачи, то есть удовлетворять требованию конечности действий;

• быть единым для всех допустимых исходных данных, то есть удовлетворять требованию универсальности;

• приводить к правильному по отношению к поставленной задаче решению, то есть удовлетворять требованию правильности.

Формально строгие определения понятия алгоритма связаны с введением специальных математических конструкций – формальных алгоритмических систем или моделей вычислений, каковыми являются рассматриваемые далее машины Поста и Тьюринга.