2. Применение преобразований лапласа в тау
2.1. Прямое и обратное преобразования Лапласа
Уравнения динамики АСР в символической Форме имеют вид:
,
или
.
Для нахождения
интеграла функции
нужно решить характеристическое
уравнение:
Уравнения пятой и выше степеней в радикалах не решаются, а решения уравнений третьей и четвертой степеней громоздки. Поэтому при анализах АСР переходят от классических методов решения дифференциальных уравнений к их решениям с помощью преобразований Лапласа.
Преобразование
Лапласа – функциональное преобразование,
при котором функция вещественного
переменного
преобразуется в функцию комплексного
переменного
.
Функция
преобразуема
по Лапласу, если она определена и
однозначна для всей области
и
если
(конечен),
т.е. если она удовлетворяет условиям Дирихле.
Минимум значения
,
при котором указанный интеграл конечен,
называют абсциссой абсолютной сходимости.
Для большинства функций
=0.
Функцию
называют оригиналом. Функцию
-
изображением (по Лапласу).
Преобразование оригинала в изображение называют прямым преобразованием Лапласа и осуществляют с помощью интеграла:
Преобразование изображения в оригинал называют обратным преобразованием Лапласа и осуществляют с помощью интеграла:
,
Операции прямого и обратного преобразований Лапласа будем обозначать через L и L-1 соответственно.
Связь между оригиналом и изображением записывается в виде:
.
Пример 1. Найти
изображение единичной скачкообразной
функции
.
L
L
.
Пример 2.
Найти изображение показательной функции
.
L
L
;
2.2. Основные теоремы преобразования Лапласа
2.2.1. Теоремы линейности
L
L
,
,
L
L
L
.
2.2.2. Теоремы о конечном и начальном значениях оригинала
,
.
2.2.3. Теорема запаздывания в области вещественного переменного.
Если функция
смещена
на величину
от начала координат (Рис. 2.1.), то такую
функцию называют функцией с запаздывающим
аргументом и записывают как
.
f
0
t
Рис.2.1.
Изображение такой функции имеет вид:
L
.
2.2.4. Теорема смещения в области комплексного переменного.
L
,
где
-
величина смещения в комплексной
плоскости.
2.2.5. Теоремы масштабов
L
,
L
,
2.2.6. Теорема дифференцирования при нулевых начальных условиях
L
L
,
где n-порядок производной.
2.2.7. Теорема интегрирования при нулевых начальных условиях
L
,
Здесь n-кратность интеграла.
2.2.8. Теорема свертки оригиналов
Если
и
то
,
где -переменная интегрирования.
2.3. Передаточная функция
Динамику АСР относительно регулируемой величины по каналу возмущающего воздействия можно записать в виде дифференциального уравнения в символической форме:
,
или
Если это уравнение
преобразовать по Лапласу, используя
теоремы линейности и дифференцирования
при нулевых начальных условиях, то
преобразованное по Лапласу уравнение
по форме записи будет совпадать с
символичной формой. Отличие заключается
в том, что вместо оригиналов
и
нужно записывать их изображения
и
и под символом дифференцирования
понимать комплексную переменную. С
учетом сказанного, преобразованное по
Лапласу при нулевых начальных условиях
исходное уравнение динамики примет
вид:
,
где
и
-операторные многочлены левой и правой
частей уравнения,
и
-изображения
выходной и входной величин.
Последнее выражение можно записать в виде
Отношение изображения выходной величины системы к изображению входного воздействия при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией системы.
Обычно, эту функцию записывают как
