1.2 Устойчивость аср
Переходный процесс в системе описывается уравнением:
Если все корни
простые действительные (
),
то каждая из составляющих переходного
процесса изменяется по закону экспоненты.
П
ри
этом переходная составляющая процесса
стремится к нулю при
(рис.1.2 а) или уходит в бесконечность от
установившегося значения при
(рис.1.2 б).
y
y
0
t 0
t
а) б)
Рис. 1.2
Если в уравнении
имеется комплексный сопряженный корень
,то
соответствующая ему составляющая
переходного процесса изменяется по
синусоидальному закону (рис.1.3):
,
где
амплитуда
колебаний;
частота колебаний;
сдвиг
фаз (начальная фаза).
y
y
i
i
0
t
0
t
а) б)
Рис.1.3.
Эти величины играют
роль постоянных интегрирования. При
этом
при
(рис.1.3 а) и уходит в бесконечность при
(рис.1.3. б).
АСР, переходные процессы в которых затухают с течением времени, называют устойчивыми.
АСР, у которых переходные процессы расходятся с течением времени, называют неустойчивыми.
Работоспособные системы должны быть устойчивыми.
Из изложенного вытекает необходимое условие устойчивости системы -отрицательность действительной части корней характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению, которым описывается динамика системы.
1.3. Принцип суперпозиции. Типовые возмущения.
Для линейной системы справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что сумме любых возмущений соответствует сумма выходных реакций, каждая из которых определяется соответствующим воздействием; при любом изменении входного возмущения без изменения его формы выходная величина претерпевает такое же изменение, также не изменяя формы.
Принцип суперпозиции применим не только к суммам, но и к интегралам. Если входное возмущение в системе представляет собой бесконечно большое число бесконечно малых элементарных возмущений, то выходная величина линейной системы представляет собой сумму бесконечно малых реакций на эти бесконечно малые возмущения.
Принцип суперпозиции дает возможность выразить реакцию системы на любое возмущение через ее реакцию на определенный вид элементарных возмущений. Для этого достаточно представить произвольное возмущение элементарными воздействиями выбранного типа.
В качестве типовых возмущений чаще всего применяют единичную скачкообразную функцию, единичную импульсную функцию, единичную линейную функцию, единичное гармоническое колебание.
1. Единичная скачкообразная функция описывает мгновенное изменение какого-то воздействия от 0 до 1 (рис.1.4).
f
t
0 t
Рис.1.4.
Аналитически скачкообразную функцию записывают как :
0
при
и
1
при
и
2. Единичная импульсная функция описывает кратковременное возмущение, имеющее характер кратковременного импульсного толчка (рис. 1.5 ).
f
0 t
Рис.1.5.
Единичная импульсная
функция, называемая
- функцией Дирака, представляет собой
первую производную от единичной
скачкообразной функции:
и равна нулю везде,
кроме
,
где она принимает бесконечное значение,
причем при условии, что интеграл от нее
по любому интервалу, содержащему
,
равен единице.
Функцию, обладающую такими свойствами, можно получить как предел положительного прямоугольного импульса, имеющего единичную площадь, когда длительность этого импульса стремится к нулю (рис. 1.6).
f
S(=1)
h
t
0
Рис.1.6.
3. Единичную линейную
функцию
при
называют еще рамповым возмущением (Рис.
1.7).
f 
0 t
Рис.1.7.
Такое возмущение является типичным для следящих систем регулирования.
4. Единичное гармоническое возмущение чаще всего записывают как функцию, изменяющуюся по синусоидальному закону ( Рис. 1.8):
f
1
0
t
Рис. 1.8
Такой тип возмущений применяют при частотных методах анализа АСР.