1.2. Закон Био – Савара - Лапласа и его применение к расчёту магнитного поля прямого и кругового токов

Используя выражение (1.1) для индукции поля движу- щегося заряда, выведем формулу для индукции поля элемента тока.

Пусть магнитное поле создается произвольным тонким проводником, по которому течет ток (рис.1.3). Выделим элемент проводника dl. Число носителей тока в данном элементе равно

, (1.6) где n – концентрация носителей, а S – площадь сечения проводника.

Рис.1.3 Рис.1.4

Каждый носитель тока создает магнитное поле, индук- ция которого в некоторой точке А определяется выражением

, (1.7) где - средняя скорость упорядоченного движения носи- телей тока, - вектор, соединяющий с точкой А.

Поле, создаваемое элементом тока dl, будет равно

. (1.8)

Приняв во внимание, что

, получим закон Био - Савара – Лапласа

, (1.9)

где - угол между векторами и .

Вектор перпендикулярен плоскости, проходящей через dl и точку A, а его направление определяется правилом правого винта.

Результирующее поле, созданное проводником с током , в соответствии с принципом суперпозиции находится путем интегрирования по всем элементам тока.

Воспользуемся формулой (1.9) для расчета индукции магнитного поля прямого и кругового токов. Пусть поле в некоторой точке А создается током , текущим по тонкому прямому проводнику длиной l (рис.1.4). Все в данной точке имеют одинаковое направление (за чертеж), поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей . (1.10) Учитывая, что , приведем (1.10) к виду, удобному для интегрирования

. Интегрируя в пределах от до , получим

. (1.11)

В частности, для прямого тока бесконечной длины ( ), получим

. (1.12)

Вычислим теперь магнитное поле на оси кругового тока. Вектор , создаваемый элементом тока в произ- вольной точке А, лежащей на оси OX, показан на рис.1.5. Векторы от всех элементов контура будут образовывать симметричный конический веер, поэтому результирующий вектор направлен вдоль оси OX.

Рис.1.5

Так как (1.13)

Тогда . (1.14) Если учесть, что , то получим окончательно выражение для индукции магнитного поля B на оси кругового тока

. (1.15) В центре витка (x=0)

, (1.16)

а для

. (1.17)

Введя понятие магнитного момента контура с током , (1.18) где S – площадь контура, - положительная нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока правилом правого винта, выражение (1.17) приводится к виду

. (1.19)

Эта формула подобна формуле для напряженности поля электрического диполя на его оси, что дает основание контурный ток называть магнитным диполем. Таким образом, контур с током в магнетизме играет ту же роль, что и электрический диполь в электростатике, а дипольный магнитный момент является аналогом электрического момента .