Решение

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ, колеблются с разностью фаз, равной 2π; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Δx, колеблются с разностью фаз, равной

.

Решая это равенство относительно λ, получим

. (1)

Подставляя числовые значения величин, входящих в выражение (1), получим λ = 8 м.

Для того, чтобы написать уравнение плоской волны, надо ещё найти циклическую частоту ω. Так как ω=2π/T (T = λ/υ – период колебаний), то

.

Произведя вычисления, найдём

Зная амплитуду колебаний А, циклическую частоту ω скорость распространения волны υ, можно написать уравнение плоской волны для данного случая

(2)

где А= 0,1м, ω=5π с^-1, υ= 20 м/c.

Чтобы найти смещение указанных точек y , достаточно в уравнение (2) подставить значения t и х:

y₁ = - 0,1м ; y₂ = 7,1см.

Пример 9. Омическое сопротивление контура Ом, индуктивность , ёмкость . Определить силу тока в контуре в момент времени , если при заряд на конденсаторе , а начальная сила тока равна нулю.

Решение

Общий вид уравнения затухающих колебаний в контуре запишем в виде:

, (1)

где ,

.

Начальную фазу и амплитудное значение заряда

определим из начальных условий. Учитывая, что при , получаем

. (2) Найдём выражение для силы тока

. (3)

Так как при и I = 0,получаем

.

Откуда и . Наконец, из (2) находим

.

С учётом найденных параметров уравнения (3) определим силу тока в контуре в момент времени

, .

Пример 10. В цепи, состоящей из последовательно соединённых резис- тора , катушки индуктив- ностью и конденсатора ёмкостью , действует синусо- идальная ЭДС. Определите частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти действующие значения силы тока I и напряжений U_R , U_L , U_C на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС .

Решение

Под действием переменной ЭДС в цепи установятся вынужденные колебания. При этом амплитудные значения тока и ЭДС связаны соотношениями

.

В соответствии с формулами, связывающими амплитуд- ные и действующие значения токов и напряжений ( , ), данное соотношение имеет аналогичный вид и для действующих значений:

.

Максимальному току при резонансе соответствует такое значение ,при котором выполняется условие

, откуда .

При этом сила тока . Зная силу тока , найдём действующие значения напряжения на каждом из элементов контура. В соответствии с законом Ома для каждого из участков получим:

,

,

Равенство следует из равенства при резонансе.

5. Волновая оптика

5.1. Световая волна. Когерентность и монохроматичность световых волн

Свет представляет собой электромагнитную волну, в которой происходят колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей. Однако, как показывает опыт, различные действия света (физиологическое, фото- химическое, фотоэлектрическое и др.) вызываются колеба- ниями электрического вектора. Поэтому в дальнейшем этот вектор будем называть световым вектором, а плоскую световую волну описывать лишь одним уравнением

(5.1)

где A-амплитуда светового вектора, - частота колебаний, - волновое число.

Длины и частоты видимого света лежат в пределах и .

Скорость распространения света в вакууме есть одна из важнейших констант физики и равна . В других средах она меньше и определяется по формуле

, (5.2)

где n-показатель преломления среды.

Для всех прозрачных сред , поэтому .

При переходе света из одной среды в другую частота колебаний ν в световой волне сохраняется, но длина волны изменяется

. ( 5.3)

Средний по времени световой поток через единицу поверхности площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны, носит название интенсивности света. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны

(5.4)

где n-показатель преломления среды.

Световая волна, описываемая уравнением (5.1), называется монохроматической. Однако, ни один реальный источник (исключая лазерный) не даёт строго монохромати- ческого света. Реальное излучение содержит в себе ни одну определённую частоту, а некоторый набор частот. Чем уже интервал частот ∆ν, тем более монохроматичным оно является.

Причина немонохроматичности излучения всякого источника, кроме лазерного, заключается в самом механизме испускания света. Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых атомами. Излучение отдельного атома продолжается τ ≈ . За это время образуется цуг протяжён- ностью . Одновременно излучает большое количество атомов. Возбуждаемые ими цуги, налагаясь друг на друга, образуют световую волну. Фаза реальной световой волны изменяется с течением времени, поскольку излучение одной группы атомов сменяется излучением другой. Время, за которое случайные изменения фазы в световой волне достигают значение , называют временем когерентности. За это время волна становится некогерентной к самой себе. Таким образом, время когерентности гораздо меньше времени излучения одного цуга.