Часть II. Индивидуальные задания для выполнения типового расчета.

Перед выполнением каждого задания студенту рекомендуется еще раз внимательно проработать соответствующий пункт части I.

Задание 1. Вычислить следующие пределы, пользуясь теоремой Лопиталя (см. п.1).

Задание 2. Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

1. ;

2. 

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. 

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание3.Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание 4. Найти асимптоты графика функции.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание 5.Провести полное исследование функции и построить ее график (см.п.5, 41).

1. 

2. 

3. ;

4. 

5. ;

6. ;

7. 

8. 

9. ;

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. ;

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задание 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (см.п.6, 41).

1. 

2. 

3. 

4. на [0;1];

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. на [1;4];

28. 

29. 

30. 

Задание 7. Решить следующие задачи (см.п.п. 6, 7, 8).

1. Число 180 разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

2. Разность двух чисел равна 13. Каковы должны быть эти числа, чтобы их произведение было наименьшим.

3. Из куска проволоки длиной 30см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Найти размеры этого прямоугольника.

4. В данный полукруг радиуса R вписать прямоугольник с наибольшим периметром.

5. Показать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

6. Боковая сторона равнобочной трапеции равна ее меньшему основанию и имеет длину, равную 9см. Какова должна быть длина большего основания, чтобы площадь трапеции была наибольшей?

7. Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс

8. Определить размеры цилиндра объемом 10 см², имеющего наименьшую полную поверхность.

9. Бак с квадратным основанием должен вмещать 27л. Каковы должны быть его размеры, чтобы его полная поверхность была наименьшей?

10. В данный шар радиус R вписать цилиндр, имеющий наибольшую полную поверхность.

11. Из квадратного листа жести, длина стороны которого 54см, вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают открытую коробку. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

12. В шар радиуса R вписать круговой конус с наибольшей боковой поверхностью.

13. В данный прямой круговой конус вписать цилиндр наибольшего объема.

14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8см и углом 60⁰ вписать прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Определить большую из сторон прямоугольника.

15. В шар вписать цилиндр наибольшего объема. Найти отношение объема шара к площади основания цилиндра, если радиус шара равен 5 см.

16. Из всех треугольников с одинаковым основанием а и углом при вершине α найти треугольник с наибольшим периметром.

17. Найти наименьшую сумму трех сторон параллелограмма с острым углом α и при заданной площади S.

18. Найти наименьшее значение суммы трех сторон прямоугольника при заданной площади S.

19. В шар радиуса R вписать цилиндр, имеющий наибольшую полную поверхность. Найти объем этого цилиндра.

20. Представить число 20 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.

21. Сумма квадратов двух положительных чисел равна 300. Подобрать эти числа так, чтобы произведение одного из них на квадрат другого было наибольшим.

22. Найти такое положительно число, которое будучи сложенным с обратным ему числом дает наибольшую сумму.

23. Найти число, утроенный квадрат которого, превышает его куб на максимальное значение.

24. Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого с квадратом второго была бы наименьшей.

25. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности2S . Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объем был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось .

26. Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, вписанных в данный шар, найдите тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.

27. Первый член арифметической прогрессии равен 1. При каком значении разности прогрессии d величина a₁a₃+a₂d₃ будет иметь минимальное значение?

28. В арифметической прогрессии седьмой член равен 9. При каком значении разности прогрессии d произведение a₁a₂a₇ будет наименьшим?

29. На графике функции y=x²+2x+2 найти точку, расстояние которой до точки будет наименьшим.

30. На графике функции найти точку, расстояние которой до точки A(-6;0) будет наибольшим.