Решение.
Вертикальная асимптота
Функция имеет разрыв в точке x=0.
Точка x=0 – точка бесконечного разрыва.
x=0 - вертикальная асимптота.
Наклонные асимптоты.
а)
правая асимптота: 
y=x - правая асимптота.
б) левая асимптота:
y=x - левая асимптота.
Так как уравнения левой и правой асимптот совпадают, то неограниченно удаляясь влево и вправо от начала координат график функции приближается к прямой y=x.
График
функции 
имеет
вид:
п.5. Полное исследование функции и построение ее графика.
Чтобы полностью исследовать функцию и построить ее график, нужно:
Найти D(y) и исследовать поведение функции на границах области определения
Исследовать непрерывность и найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Определить вертикальные асимптоты.
Найти наклонные асимптоты (см.п.4)
Исследовать функцию с помощью первой производной, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции (см.п.2)
Исследовать функцию с помощью второй производной (см.п.3). Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
Построить график функции. Обычно график функции строится постепенно по мере исследования функции.
Пример.
Исследовать
функцию 
и
построить ее график.
Решение.
Найдем D(y), D(y)= (
;+
)
Исследуем поведение функции на границах D(y)
Функция непрерывна на D(y), точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты:
а) правая асимптота: .
правая
асимптота.
б) левая асимптота находится аналогично.
Так как вычисленные выше пределы не зависят от знака переменной x, то для левой асимптоты k и b имеют те же значения. Т.е. прямая является и левой асимптотой.
Вывод: График данной функции имеет единственную наклонную асимптоту с уравнением .
Найдем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции. Для этого найдем y’.
Таким образом,
Нанесем
точки 0, 
и 2 на числовую ось.
Получим четыре интервала.
Выбирая на каждом интервале произвольную точку и вычисляя значение y’ в этой точке, найдем знак y” на каждом из интервалов:
а)
б)
в)
г)
Аналогично находим, что y’(3)>0, т.е. на интервале (3;+ ) функция тоже возрастает. Нанесем на последний чертеж знаки y’ на каждом из полученных интервалов. Будем иметь следующую схему:
Так
как в точке x=0y'
меняет знак с "+" на "-", в этой
точке функция имеет максимум 
Так
как в точке x=
функция меняет знак с "-" на "+"
, то в этой точке минимум 
Точка
– точка минимума графика функции.
В точке x=2 производная не меняет знак, поэтому экстремума в этой точке нет.
– точка перегиба на графике функции.
Найдем промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
Для
этого найдем 
После преобразований получаем, что
y’’
не
обращается в 0, но имеется две точки 
,
в которых y’’не
существует. Эти точки и являются
критическими точками второго порядка.
Нанесем на числовую ось эти точки.
Найдем знаки y’’ на каждом из полученных интервалов.
а)
Возьмем точку х=-1, принадлежащую интервалу
б)
Возьмем точку х=1, принадлежащую интервалу
в)
Возьмем точку х=1, принадлежащую интервалу
Построим график функции . Для этого последовательно:
а) Построим на плоскости OXY асимптоту функции .
б)
Строим точки максимума 
и
минимума
,
точку перегиба 
.
Так
как в точке 
не существует, то в этой точке касательная
к графику функции перпендикулярна оси
ОХ и имеем, так называемый, острый
максимум.
в)
Соединить точки 
плавной линией учитывая промежутки
выпуклости, вогнутости, возрастания и
убывания.
Полученный график изображен на чертеже.
п.6. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на [a;b] и дифференцируемую на интервале (a;b). Функция, непрерывная на отрезке [a;b], достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо внутри отрезка, тогда они являются точками экстремума, либо на его концах.
Отсюда вытекает правило нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке.
Правило
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке [a;b]нужно:
Найти производную функции f’(x).
Найти критические точки функции, т.е. точки, в которых f’(x)=0 или не существует.
Выбрать критические точки принадлежащие отрезку [a;b].
Вычислить значение функции в этих точках.
Вычислить f(a) и f(b).
Наибольшее из всех полученных значений будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции на отрезке.
Замечание. Иногда D(y) представляет собой отрезок [a;b] и требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции без указания отрезка. В этом случае сначала находится D(y)=[a;b], а затем применяется правило, приведенное выше.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение
функции 