6. Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости в однородных пластах. Радиально-сферический установившийся фильтрационный поток.

Радиально-сферический фильтрационный поток.

Несжимаемая жидкость притекает к скважине, вскрывшей однородный пласт большой толщины через полусферический забой, радиус которого r_c. Начальное приведенное давление во всем пласте и на забое скважины Р^*_к. Затем это давление снизим до Р^*_с и будем поддерживать его постоянным. При этом в пласте будем иметь установившийся радиально-сферический поток несжимаемой жидкости, описываемый уравнением Лапласа.

S = R_k – r, dS = -dr, тогда закон Дарси запишется так

(2) – это уравнение Лапласа в сферических координатах для установившегося радиально-сферического фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси. Проинтегрировав уравнение (1), получим

=> Р^* = - С₁/r + C₂ (3),

С₁ и С₂ определим из граничных условий Р^* = Р^*_с при r = r_c , Р^* = Р^*_к при r = R_к , тогда

Р^*_с = - С₁/r_с + C₂; Р^*_к = - С₁/R_к + C₂

(4) подставляем в решение (3), получим общее решение ур-я (2)

Градиент приведенного давления определим по формуле:

Скорость фильтрации жидкости на расстоянии r от центра забоя скважины

Закон движения частиц жидкости вдоль траектории r определяется из уравнения

Для того чтобы найти время Т продвижения частицы жидкости от начального положения R₀ до скважины, нужно в формуле (7) положить r = r_c. Если пренебречь r³_c вследствие ее малости, то получим

Т=2mR³₀/3Q (8).

Средневзвешенное по объему порового пространства приведенное пластовое давление будет

Характеристики установившегося радиально-сферического потока несжимаемой жидкости в однородном пласте определяются по формулам (5) – (9). Из этих формул сделаем вывод, что градиент приведенного давления и скорость фильтрации в любой точке пласта обратно пропорциональны квадрату расстояния от этой точки до забоя скважины.

7. Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости при нелинейных законах фильтрации. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости.

Степенной закон фильтрации в условиях плоскорадиального движения имеет вид: W= Q/(r) = C(dP/dr)^1/n (1), где (r) = 2rh.

Для определения дебита скважины разделим переменные в уравнении (1) , проинтегрируем:

и получим (2):

При n=2 формула называется законом Краснопольского:

Пренебрегая величиной 1/R_к по сравнению с 1/r_c, получим

Распределение давления в потоке также определим из (1), проинтегрировав его в пределах от Р_к до Р, получим:

При n=2

Вычислим градиент давления (3), используя (1) и (2):

При n=2

О пределим скорость фильтрации из (1) с учетом (3) по формуле:

при 1<n<2 - выпуклая степенная кривая с дробным показателем (кривая 3); при n=1 -кривая 1; при n=2 кривая 2

Для плоскорадиального потока используется двучленный закон фильтрации:

dP/dr = W/K + bW² (4), где b= /K.

Выражая скорость фильтрации через Q, имеем W= Q/2rh.

Перепишем с учетом последнего выражения ф-лу (4):

Проинтегрировав в пределах от r до R_к, от Р до Р_к, от r_c до R_к, найдем ф-лы для давления и дебита.

Распределение давления в пласте будет:

Формула для дебита скважины будет

Среднее значение проницаемости пласта определим по ф-ле:

8. Исследование фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных пластах. Плоскорадиальный поток несжимаемой жидкости (слоисто-неоднородный пласт, зонально-неоднородный пласт).

Пористая среда называется неоднородной, если ее фильтрационные характеристики различны в разных областях. Виды неоднородностей пластов: 1) Слоистая неоднородность – когда пласт разделяется по толщине на несколько слоев. каждом из которых проницаемость в среднем постоянна, но отлична от проницаемости соседних слоев. Такие пласты называются неоднородными по толщине. 2) Зональная неоднородность, при которой пласт по площади состоит из нескольких зон различной проницаемости, на границе двух зон проницаемость скачкообразно изменяется, т. е. неоднородность по площади пласта. 3) Неоднородные пласты, в которых проницаемость является известной непрерывной функцией К(x, y, z) координатных точек области фильтрации.

Слоисто-неоднородный пласт.

Установившийся плоскорадиальный приток несжимаемой жидкости по закону Дарси направлен к гидродинамически совершенной скважине радиуса r_c в слоисто-неоднородном пласте, состоящем из n пропластков с разными коллекторскими свойствами. На контуре питания R_k и на забое скважины r_c постоянные давления Р_к и Р_с. В каждом пропластке при его постоянной толщине h_i и проницаемости k_i будет плоскорадиальное движение и закон распределения давления в каждом из них

.

Логарифмическая кривая распределения давления общая для всех пропластков. Градиент давления будет также одинаков во всех пропластках: . Скорость фильтрации, пропорциональная проницаемости будет в каждом пропластке иметь свое значение . Тогда дебит потока Q будет = сумме дебитов отдельных пропластков Q_i:

Среднее значение проницаемости К_ср определяют из равенства дебитов в реальном неоднородном и эквивалентном однородном пластах. Тогда

З онально-неоднородный пласт. Пусть имеется горизонтальный пласт с постоянной толщиной h, состоящих из n кольцеобразных зон с различной проницаемостью K_i и пористостью m_i, при этом граница каждой зоны имеет форму боковой поверхности цилиндра, соосного скважине.

На контуре питания пласта R_k поддерживается постоянное давление Р_к. На внутренней границе пласта r_c поддерживается постоянное давление Р_с. В пласте установившийся плоскорадиальный приток несжимаемой жидкости по закону Дарси. Распределение давления в i-той зоне будет: , где r_i и r_i-1-внешний и внутренний радиусы i-той зоны, r₀ = r_c, r_n = R_k P_i и P_i-1 – давления соответственно на внешней и внутренней границах i-той зоны. Градиент давления в i-той зоне будет

Дебит тока в силу установившегося движения несжимаемой жидкости будет постоянен через любую цилиндрическую поверхность соосную скважине:

Скорость фильтрации в любой точке потока определяется отношением

Среднее значение проницаемости зонально-неоднородного пласта можно определить из равенства дебитов аналогичных потоков неоднородных и однородных пластов.